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<div style='display: inline'> <h1 style='font-family: Malgun Gothic, Consolas; font-size: 20pt; color: #006699; text-align: center; font-weight: bold'>Matlab/Octave로 Gram-Schmidt 정규 직교 집합 구하는 방법</h1> <p> a 행렬을 정의하고,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > a = [1,1,0; 0,1,2; 1,2,1]' a = 1 0 1 1 1 2 0 2 1 </pre> <br /> matlab/octave로 QR 분해하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > [q,r] = qr(a) q = -0.70711 0.23570 0.66667 -0.70711 -0.23570 -0.66667 -0.00000 -0.94281 0.33333 r = -1.41421 -0.70711 -2.12132 0.00000 -2.12132 -1.17851 0.00000 0.00000 -0.33333 </pre> <br /> 참고로, wolframalpha 웹 사이트에서 확인하면 실수 계산 값이 아닌 분수 형태의 값으로 구할 수 있습니다. (단지, 부호가 반대입니다.)<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > gram schmidt {{1,0,1},{1,1,2},{0,2,1}} ; <a target='tab' href='http://m.wolframalpha.com/input/?i=gram+schmidt+%7B%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C2%7D%2C%7B1%2C2%2C1%7D%7D&x=0&y=0'>http://m.wolframalpha.com/input/?i=gram+schmidt+%7B%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C2%7D%2C%7B1%2C2%2C1%7D%7D&x=0&y=0</a> 1/sqrt(2), -1/(3*sqrt(2)), -2/3 1/sqrt(2), 1/(3*sqrt(2)) , 2/3 0 , 2*sqrt(2) / 3 , -1/3 </pre> <br /> 여기서, Q 결괏값은 직교 행렬로 X<sub>i</sub> * X<sub>j</sub> = 0 (i != j)인 조건을 만족합니다. 검증은 다음과 같이 쉽게 할 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > # a1 = [-0.70711, -0.70711, 0] # a2 = [0.23570, -0.23570, -0.94281] # a3 = [0.66667, -0.66667, 0.33333] a1 = q(:,1)' a2 = q(:,2)' a3 = q(:,3)' >> dot(a1, a2) ans = 0 >> dot(a2, a3) ans = 1.3807e-006 // 실수 계산 값의 오차 누적으로 인한 것일 뿐 0 값임! >> dot(a3, a1) ans = 0 </pre> <br /> 또한, Q 결괏값은 정규 직교 행렬이기 때문에 X<sub>i</sub> * X<sub>j</sub> = 1 (i == j)인 조건을 만족하고, 이는 norm의 값이 1이므로 다음과 같이 검증할 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > >> dot(a1,a1) ans = 1.0000 >> norm(a1) ans = 1.0000 // 이하 a2, a3에 대해서도 동일한 결괏값 </pre> <br /> QR 분해의 Q 행렬은 Gram-Schmidt 정규 직교화 과정에 해당하기 때문에 다음과 같이 수작업으로도 구할 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > a1 = [1,1,0] na1 = norm(a1) ea1 = a1 / na1 // 계산 값: 0.70711, 0.70711, 0 </pre> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > a2 = [0,1,2] _a2 = a2 - dot(a2,ea1) * ea1 n_a2 = norm(_a2) ea2 = _a2 / n_a2 // 계산 값: -0.23570 0.23570 0.94281 </pre> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > a3 = [1,2,1] _a3 = a3 - dot(a3,ea1) * ea1 - dot(a3,ea2) * ea2 n_a3 = norm(_a3) ea3 = _a3 / n_a3 // 계산 값: -0.66667 0.66667 -0.33333 </pre> <br /> 재미있는 것은, 직접 계산한 값의 경우에도 부호는 wolframalpha의 것과 같은 반면 matlab/octave의 QR 함수와는 반대입니다. (혹시 이 이유를 알고 계신 분은 덧글 부탁드립니다. ^^)<br /> <br /> 실제로 이런 수작업을 별도의 함수로 구현하고 그것이 matlab/octave의 qr 함수와 같다는 것을 다음의 문서에서 정리하고 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > The Gram-Schmidt process in Matlab ; <a target='tab' href='https://www.math.purdue.edu/~wang838/teaching/GramSchmidt.pdf'>https://www.math.purdue.edu/~wang838/teaching/GramSchmidt.pdf</a> </pre> <br /> <hr style='width: 50%' /><br /> <br /> 기왕 해본 김에 octave 명령어도 알아볼 겸, 정규 직교 집합을 시각화해보겠습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > a1 = [1,1,0]' a2 = [0,1,2]' a3 = [1,2,1]' a = [a1 a2 a3] [q,r] = qr(a) ad1 = quiver3(0,0,0,-q(1),-q(2),-q(3)) hold on ad2 = quiver3(0,0,0,-q(4),-q(5),-q(6)) hold on ad3 = quiver3(0,0,0,-q(7),-q(8),-q(9)) hold on axis equal text(-q(1),-q(2),-q(3), 'ad1') text(-q(4),-q(5),-q(6), 'ad2') text(-q(7),-q(8),-q(9), 'ad3') </pre> <br /> 그럼, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있고 "Rotate" 기능을 이용해 마우스로 이리저리 돌려 보면 3개의 벡터가 직교하고 있음을 눈으로 쉽게 확인할 수 있습니다.<br /> <br /> <img alt='gramschmidt_1.png' src='/SysWebRes/bbs/gramschmidt_1.png' /><br /> </p><br /> <br /><hr /><span style='color: Maroon'>[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]</span> </div>
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