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<div style='display: inline'>
<h1 style='font-family: Malgun Gothic, Consolas; font-size: 20pt; color: #006699; text-align: center; font-weight: bold'>GeoGebra 기하 (21) - 반전기하학의 직선 및 원에 관한 반사변환</h1>

지오지브라 수학 앱을 이용해, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a>
</pre>
 
반전기하학에 대한 작도를 알아보겠습니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
반전기하학
; <a target='tab' href='https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%98%EC%A0%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99'>https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%98%EC%A0%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99</a>
</pre>
 
우선 평면에서 한 점을 선에 대해 반사변환을 해보겠습니다. 
 
<img alt='reflect_line_1.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_line_1.png' /> 
 
사실 이것은 너무나 직관적으로, 해당 선에 대하 수직선을 긋고(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>) 그 교점을 중심으로 원을 그리면(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a>) 또 다른 점의 위치가 결정이 됩니다. 
 
<img alt='reflect_line_2.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_line_2.png' /> 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
원에 대한 반사변환은 좀 특이합니다. 지난 글에서, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
GeoGebra 기하 (18) - 원의 중심 및 접선
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11594'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11594</a>
</pre>
 
(0,0) 원점을 중심으로 하는 원의 방정식을, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
x12 + y12 = r2 (r == 반지름)
</pre>
 
그려 보면, 
 
<img alt='reflect_circle_1.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_1.png' /> 
 
피타고라스 정리에 의해 쉽게 그 이유가 나옵니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
(선분 AF)2 + (선분 FC)2 = (선분 AC)2

선분 AF = x 축의 값
선분 FC = y 축의 값
선분 AC = 반지름 r

x12 + y12 = r2
</pre>
 
r2이 되는 또 다른 경우를 보겠습니다. 위의 그림에서 다음과 같이 선분 AC에 임의의 점을 하나 찍었습니다. 
 
<img alt='reflect_circle_2.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_2.png' /> 
 
점 H는 알고 있고 점 ?의 위치는 알 수 없는 상태입니다. 이때 다음과 같은 공식을 만족하는 점 ?의 위치가 있을 것입니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
(선분 AH) * (선분 A?) = (선분 AC)2
</pre>
 
예를 들어 점 H의 위치가 점 C와 같다면, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
(선분 AH) * (선분 AH) = (선분 AC)2
</pre>
 
결국 원 호를 이루는 모든 점이 될 것입니다. 그런데 점 H를 직선을 따라 안쪽으로 이동시켰을 경우, 즉 반지름 r보다 값이 작아진다면 점 ?의 위치는 r보다 커져야 할 것입니다. 바로 그 위치를 작도해 보는 것입니다. 
 
방법은, 선분 AH에 수직 이등분선을 긋고(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Perpendicular Bisector</a>), 
 
<img alt='reflect_circle_3.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_3.png' /> 
 
그 선과 원 A와 만나는 교점을 J라고 했을 때, 이제 점 A와 그 교점 J를 현으로 하는 원을 구해야 합니다. 이를 위해 현의 중점으로부터 역시 수직 이등분선을 그으면, 
 
<img alt='reflect_circle_4.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_4.png' /> 
 
위와 같이 수직 이등분선과 선분 AC의 연장선 위에 만나는 교점 K가 결정되는데 바로 그 위치가 ?에 해당합니다. 그래서 결국 다음의 공식이 성립합니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
(선분 AH) * (선분 AK) = r2
</pre>
 
증명은 다음과 같이 정리(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Show / Hide Object</a>) 후 보조선을 그어 보면 모습을 드러냅니다. 
 
<img alt='reflect_circle_5.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_5.png' /> 
 
삼각형 AJH는 이등변 삼각형이고 삼각형 JKA 또한 이등변 삼각형입니다. 이로부터 삼각형 JKA의 각 KJA와 각 KAJ는 같기 때문에 두 개의 이등변 삼각형은 두 각이 같으므로 닮음 조건을 만족합니다. 따라서 밑변과 빗변의 비율이 같으므로 다음의 식이 성립합니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
 (선분 AH) : (선분 AJ) = (선분 JA) : (선분 JK)
==&gt; (선분 AJ) * (선분 JA) = (선분 AH) * (선분 JK)
==&gt; r * r = (선분 AH) * (선분 JK)
==&gt; r2 = (선분 AH) * (선분 AK)
</pre>
 
물론 반대로도 위치를 잡을 수 있는데 이 과정은 위의 것과 반대로 하면 됩니다. 예를 들어, 점 K를 다음과 같이 원 밖에서 결정했을 때, 
 
<img alt='reflect_circle_6.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_6.png' /> 
 
점 K를 중심으로 선분 AK를 반지름으로 하는 원을 그리면 원 K와 원 A의 교점이 생기고, 
 
<img alt='reflect_circle_7.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_7.png' /> 
 
그 교점 J로부터 선분 AC에 수선의 발을 내리면(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>), 
 
<img alt='reflect_circle_8.png' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_8.png' /> 
 
점 I가 결정되므로 선분 IA를 반지름으로 하는 원을 그리면 점 H가 결정되는 것으로 완료됩니다. 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
자, 그럼 이제 간단하게 애니메이션 테스트를 할 수 있습니다. 점 H의 위치를 원 A의 반지름 내에서 이동해 주면 r2을 만족하기 위해 점 K의 위치가 그에 맞게 이동합니다. 
 
<img alt='reflect_circle_9.gif' src='/SysWebRes/bbs/reflect_circle_9.gif' /> 
 
이를 달리 말하면, 선분 AC의 구간이 (K가 아무리 멀어져도) 선분 CK의 구간과 일대일 대응 관계를 수립한다는 것입니다. 단지, 여기서 문제가 되는 것은 점 H가 원 A의 중심에 가까워져 그 길이가 0이 되면 점 K의 지점이 무한대로 멀어진다는 것인데, 점 A의 반전은 "무한원점"에 대응한다면서 여전히 일대일 대응 관계가 수립하는데 문제가 없다고 합니다. 
 
(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/bbs/DownloadAttachment.aspx?fid=1313&amp;boardid=331301885'>첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일</a>입니다.) 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
Basic Tools
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Move</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Point</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a>

Edit
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Show / Hide Label</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Show / Hide Object</a>

Construct
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Midpoint or Center</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Perpendicular Bisector</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11573'>Parallel Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11577'>Angle Bisector</a>

Measure
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Angle</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11593'>Angle with Given Size</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Distance or Length</a>

Lines
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>Segment with Given Length</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Ray</a>

Circles
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Compass</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11578'>Circumcircular Arc</a>

Polygons
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579'>Regular Polygon</a>

GeoGebra 메뉴 관련 기능
 Steps - <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a>
</pre>

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