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<div style='display: inline'> <h1 style='font-family: Malgun Gothic, Consolas; font-size: 20pt; color: #006699; text-align: center; font-weight: bold'>GeoGebra 기하 (23) - sqrt(n) 제곱근</h1> <p> 지오지브라 수학 앱을 이용해,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램 ; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a> </pre> <br /> 이번에는 제곱근에 대한 작도를 해보겠습니다. 우선 가장 쉬운 ${ \sqrt {2} }$로 시작해 볼까요? ^^ 방정식으로 보면,<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> x<sup>2</sup> - 2 = 0<br /> x<sup>2</sup> = 2<br /> x = ${ \sqrt {2} }$<br /> </div><br /> <br /> 가 되고, 단위 길이를 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>Segment with Given Length</a>를 이용해 작도하고, 그 단위 선분의 끝 점에서 수직인 직선을 그은(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>) 결과 제곱근 2를 구하게 됩니다.<br /> <br /> <img alt='root_n_1.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_1.png' /><br /> <br /> 즉, 선분 AC의 길이가 ${ \sqrt {2} }$에 해당합니다. 피타고라스 정리를 생각해 보면 간단하게 증명이 됩니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> AC<sup>2</sup> = AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup><br /> AB = AC = 1이므로,<br /> AC<sup>2</sup> = 2<br /> AC = ${ \sqrt {2} }$<br /> </div><br /> <br /> 제곱근 2를 작도했다는 것과 함께 지난 글의 4칙 연산을 추가하면,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > GeoGebra 기하 (6) - 대수의 4칙 연산 ; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576</a> </pre> <br /> 다음의 수에 해당하는 것들은 모두 작도할 수 있다는 것이 됩니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> a + b${ \sqrt {2} }$ (a, b는 유리수)<br /> </div><br /> <br /> 그렇다면 ${ \sqrt {3} }$은 어떻게 작도할까요? 단위 길이를 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>한 직선에 다음과 같이 2개를 작도</a>하고,<br /> <br /> <img alt='root_n_2.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_2.png' /><br /> <br /> 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 점 A와 점 B를 중심으로 원을 2개 그리면 그 교점이 생깁니다.<br /> <br /> <img alt='root_n_3.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_3.png' /><br /> <br /> 점 C로부터 점 E와 점 B에 선분을 그으면 삼각형 EBC가 작도되는데요,<br /> <br /> <img alt='root_n_4.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_4.png' /><br /> <br /> 이번에도 역시 피타고라스 정리에 의해 따라서 다음과 같은 식이 성립하고,<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> EB<sup>2</sup> = EC<sup>2</sup> + CB<sup>2</sup><br /> <br /> EB = 2, CB = 1이므로,<br /> <br /> 4 = EC<sup>2</sup> + 1<br /> 3 = EC<sup>2</sup><br /> <br /> ${ \sqrt {3} }$= EC<br /> </div><br /> <br /> 선분 EC로 제곱근 3을 작도했으니, 이번에도 역시 다음의 수들은 모두 작도할 수 있게 됩니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> a + b${ \sqrt {3} }$ (a, b는 유리수)<br /> </div><br /> <br /> <hr style='width: 50%' /><br /> <br /> 혹시, 다음과 같이 임의의 길이 a를 가진 경우에도 제곱근이 가능할까요? 즉, 유리수 a에 대한 제곱근이 가능하냐는 것입니다.<br /> <br /> <img alt='root_n_5.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_5.png' /><br /> <br /> 이를 위해, 선분 AB를 늘려 단위 길이 1만큼 더 작도(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>Segment with Given Length</a>)합니다. <br /> <br /> <img alt='root_n_6.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_6.png' /><br /> <br /> 연장된 선분 AD를 이등분(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Midpoint or Center</a>)하고, 그 중점을 중심으로 한 원을 그려줍니다.<br /> <br /> <img alt='root_n_7.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_7.png' /><br /> <br /> 마지막으로, 점 B에서 수직선을 그리고(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>), 그 수직선과 원 E와 만나는 교점을 점 A와 점 D에 각각 선분을 연결해 줍니다.<br /> <br /> <img alt='root_n_8.png' src='/SysWebRes/bbs/root_n_8.png' /><br /> <br /> 이때 선분 FB가 이루는 선이 바로 제곱근 a의 길이가 됩니다. 증명을 해볼까요? ^^ 중심각/원주각에 의해 각 AFD는 직각이고, 각 FBD도 수직선을 그었으므로 직각이 됩니다. 또한 삼각형 내각의 합이 180도이므로,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > 삼각형 AFD 각 AFD + 각 FAD + 각 FDA = 180 90 + 각 FAD + 각 FDA = 180 삼각형 FBD 각 DFB + 각 FBD + 각 BDF = 180 각 DFB + 90 + 각 BDF = 180 </pre> <br /> 위의 각에서 각 FDB를 각 FDA와 각 BDF로 공유하고 있으므로 이를 x로 두었을 때,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > 삼각형 AFD 90 + 각 FAD + x = 180 삼각형 FBD 각 DFB + 90 + x = 180 </pre> <br /> 결국 각 FAD와 각 DFB가 같게 됩니다. 그럼 이제 삼각형 AFB와 삼각형 FBD를 보겠습니다. 결국 2개의 각이 같으므로 닮음 조건이 성립하고, 이에 기반해 다음의 비율을 정리할 수 있습니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> 선분 BA : 선분 FB = 선분 FB : 선분 BD<br /> ==> 선분 FB * 선분 FB = 선분 BA * 선분 BD<br /> ==> (선분 FB)<sup>2</sup> = 선분 BA * 선분 BD<br /> <br /> 선분 BD는 단위 길이 1이므로,<br /> ==> (선분 FB)<sup>2</sup> = 선분 BA<br /> <br /> 선분 BA의 길이는 우리가 설정했던 유리수 a의 길이,<br /> ==> (선분 FB)<sup>2</sup> = a<br /> ==> (선분 FB) = ${ \sqrt {a} }$<br /> </div><br /> <br /> 이로써, 제곱근과 관련한 아래의 모든 수를 작도할 수 있게 되었습니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> a + b${ \sqrt {n} }$ (a, b는 유리수)<br /> </div><br /> <br /> (<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/bbs/DownloadAttachment.aspx?fid=1315&boardid=331301885'>첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일</a>입니다.)<br /> <br /> <hr style='width: 50%' /><br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > Basic Tools <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Move</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Point</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a> Edit <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Show / Hide Label</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Show / Hide Object</a> Construct <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Midpoint or Center</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Perpendicular Bisector</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11573'>Parallel Line</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11577'>Angle Bisector</a> Measure <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Angle</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11593'>Angle with Given Size</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Distance or Length</a> Lines <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>Segment with Given Length</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Ray</a> Circles <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Compass</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11578'>Circumcircular Arc</a> Polygons <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579'>Regular Polygon</a> GeoGebra 메뉴 관련 기능 Steps - <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>Animation</a> Settings - <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602</a> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>Show Trace</a> </pre> </p><br /> <br /><hr /><span style='color: Maroon'>[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]</span> </div>
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