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<div style='display: inline'> <h1 style='font-family: Malgun Gothic, Consolas; font-size: 20pt; color: #006699; text-align: center; font-weight: bold'>Unity - World matrix(unity_ObjectToWorld)로부터 Position, Rotation, Scale 값을 복원하는 방법</h1> <p> 지난 글에서,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > Unity - shader의 World matrix(unity_ObjectToWorld)를 수작업으로 구성 ; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11633'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11633</a> Unity - World matrix(unity_ObjectToWorld)로부터 TRS(이동/회전/크기) 행렬로 복원하는 방법 ; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11637'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11637</a> </pre> <br /> unity_ObjectToWorld 행렬로부터 TRS 행렬까지 복원하는 작업을 해봤습니다. 이번에는 TRS 행렬이 아니라 Unity 에디터의 Transform에 입력한 Position, Rotation, Scale 값을 구해 보겠습니다. 우선, Position의 x, y, z 값은 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11633'>지난 글에서도 설명</a>했듯이 다음과 같이 구할 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > float x = unity_ObjectToWorld._m03; float y = unity_ObjectToWorld._m13; float z = unity_ObjectToWorld._m23; </pre> <br /> Scale의 x, y, z도 역시 아래와 같이 unity_ObjectToWorld 행렬로부터 구했었고,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > vector sx = vector(unity_ObjectToWorld._m00, unity_ObjectToWorld._m10, unity_ObjectToWorld._m20, 0); vector sy = vector(unity_ObjectToWorld._m01, unity_ObjectToWorld._m11, unity_ObjectToWorld._m21, 0); vector sz = vector(unity_ObjectToWorld._m02, unity_ObjectToWorld._m12, unity_ObjectToWorld._m22, 0); float scaleX = length(sx); float scaleY = length(sy); float scaleZ = length(sz); </pre> <br /> 하지만, Rotation의 경우에는 개별 값으로는 구하지 못하고 행렬로만 복원했었습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > float4x4 rotationMatrix; rotationMatrix[0] = float4(unity_ObjectToWorld._m00 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m01 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m02 / scaleZ, 0); rotationMatrix[1] = float4(unity_ObjectToWorld._m10 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m11 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m12 / scaleZ, 0); rotationMatrix[2] = float4(unity_ObjectToWorld._m20 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m21 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m22 / scaleZ, 0); rotationMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); </pre> <br /> 즉, Inspector 창에 입력한 Rotation의 x, y, z 회전 값을 구했던 것은 아닙니다. 그럼, 위의 행렬에서 한번 구해볼까요? ^^<br /> <br /> <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11633'>이전 글에서 설명</a>했지만, Unity의 경우 축에 대한 Rotation을 다음과 같은 순서로 곱한다고 했습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > R<sub>Y</sub> * R<sub>X</sub> * R<sub>Z</sub> </pre> <br /> 그리고 각각의 축에 대한 회전인 R<sub>x</sub>, R<sub>y</sub>, R<sub>z</sub> 직교 행렬들은 다음과 같았고.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> ${<br /> Rx = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos \theta & -sin \theta & 0 \\ 0 & sin \theta & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br /> }$<br /> <br /> ${<br /> Ry = \begin{bmatrix} cos \theta & 0 & sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin \theta & 0 & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br /> }$ <br /> <br /> ${<br /> Rz = \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta & 0 & 0 \\ sin \theta & cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br /> }$ <br /> </div><br /> <br /> 그렇다면, 저 행렬들을 곱하는 와중에 어딘가는 θ 값 하나가 보존된 곳이 있을지 모릅니다. 실제로 저 값들을 곱한 결과를 정리해 볼까요? ^^ 값을 다음과 같이 대입했을 때,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > xcos = cos(θ<sub>x</sub>) xsin = sin(θ<sub>x</sub>) ycos = cos(θ<sub>y</sub>) ysin = sin(θ<sub>y</sub>) zcos = cos(θ<sub>z</sub>) zsin = sin(θ<sub>z</sub>) </pre> <br /> R<sub>y</sub> * R<sub>x</sub> 행렬 곱부터 하면 다음과 같이 나옵니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> ${<br /> Ry * Rx = \begin{bmatrix} ycos & xsin * ysin & xcos * ysin & 0 <br /> \\ 0 & xcos & -xsin & 0 <br /> \\ -ysin & xsin * ycos & xcos * ycos & 0 <br /> \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br /> }$<br /> </div><br /> <br /> 다시 이 결과를 R<sub>z</sub> 행렬에 곱하겠습니다.<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> ${<br /> R = Ry * Rx * Rz = \begin{bmatrix} ycos * zcos + xsin * ysin * zsin & ycos * -zsin + xsin * ysin * zcos & xcos * ysin & 0<br /> \\ xcos * zsin & xcos * zcos & -xsin & 0 <br /> \\ -ysin * zcos + xsin * ycos * zsin & -ysin * -zsin + xsin * ycos * zcos & xcos * ycos & 0 <br /> \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}<br /> }$<br /> </div><br /> <br /> 오호~~~ 정말 R[1,2] = -xsin 값이 단독으로 나왔습니다. 따라서 이 값을 역함수에 대입하면,<br /> <br /> <div style='BACKGROUND-COLOR: #ccffcc; padding: 10px 10px 5px 10px; MARGIN: 0px 10px 10px 10px; FONT-FAMILY: Malgun Gothic, Consolas, Verdana; COLOR: #005555'> θ = asin(-R[1,2])<br /> x = rad2deg(θ);<br /> </div><br /> <br /> x의 회전 값을 구할 수 있습니다. 이 값을 알게 되었으니 이제 나머지 단서를 이용해 y, z의 회전 값을 구할 수 있습니다. 가령 "R[0,2] = xcos * ysin"의 공식에서 x의 값을 이미 구했으니 xcos는 상수가 되고 이로부터 아크사인을 이용해 역시 y의 회전 값을 구할 수 있습니다. z의 회전 값 역시 "R[1,0] = xcos * zsin"를 이용해 구할 수 있고.<br /> <br /> 실제로 octave를 이용해 한번 실습해 볼까요? ^^ x, y, z의 회전 값을 각각 70, 50, 45도로 잡고,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > x = deg2rad(70) y = deg2rad(50) z = deg2rad(45) xcos = cos(x) xsin = sin(x) ycos = cos(y) ysin = sin(y) zcos = cos(z) zsin = sin(z) Rx = [1 0 0 0; 0 xcos -xsin 0; 0 xsin xcos 0; 0 0 0 1] Ry = [ycos 0 ysin 0; 0 1 0 0; -ysin 0 ycos 0; 0 0 0 1] Rz = [zcos -zsin 0 0; zsin zcos 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1] R = Ry * Rx * Rz xrad = asin(-R(2,3)) # octave에서는 0-based 인덱스가 아니고 1-based 인덱스를 사용 rad2deg(xrad) xcos = cos(xrad) yrad = asin(R(1,3) / xcos) rad2deg(yrad) zrad = asin(R(2,1) / xcos) rad2deg(zrad) </pre> <br /> 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > R = 0.96353 0.05449 0.26200 0.00000 0.24184 0.24184 -0.93969 0.00000 -0.11457 0.96878 0.21985 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 xrad = 1.2217 ans = 70 yrad = 0.87266 ans = 50 zrad = 0.78540 ans = 45.000 </pre> <br /> 원하는 데로, 70, 50, 45로 복원을 했습니다. 그런데, z 값을 구하는 공식이 좀 문제입니다. 행렬 구성을 보면 z 값은 다음의 2가지 공식을 사용할 수 있는데,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > R[2,1] = xcos * zsin R[2,2] = xcos * zcos </pre> <br /> 위의 octave 스크립트에서는 첫 번째만을 사용한 것입니다. 두 번째 공식도 나오도록 스크립트를 조정하고,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > zrad = asin(R(2,1) / xcos) rad2deg(zrad) zrad = acos(R(2,2) / xcos) rad2deg(zrad) </pre> <br /> x = 30, y = 50, z = -50일 때로 구해 보면, 각각의 z 값은 다음과 같이 반대가 나옵니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > zrad = -0.87266 ans = -50 zrad = 0.87266 ans = 50 </pre> <br /> 실제로 Unity에 적용해 보면 -50이 맞습니다. 반면 x = -20, y = -20, z = 100일 때로 구해 보면,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > zrad = 1.3963 ans = 80.000 zrad = 1.7453 ans = 100 </pre> <br /> 이번엔 100이 맞는 결과입니다. 따라서 z 각을 구하기 위해 R(2,1)을 이용하든, R(2,2)의 값을 이용하든 특정한 상황에서 틀린 값을 반환해 줍니다.<br /> <br /> 또한, 이렇게 asin/acos의 인자로 나눗셈 연산의 식을 전달할 때는 cosθ가 0이 나오는 것을 주의해야 합니다. 0으로 나누면 NaN이 출력되기 때문에 shader 코드에서 다음과 같은 조치를 취해야 합니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > // shader float yAngle = asin(rotationMatrix[0].z / xcos); if (isnan(yAngle) == true) { yAngle = 0.0; } float zAngle = asin(rotationMatrix[1].x / xcos); if (isnan(zAngle) == true) { zAngle = 0.0; } </pre> <br /> 정확하지도 않은 값을 반환하는데, if 문까지 있는 코드라니... 달갑지 않은 상황입니다.<br /> <br /> <hr style='width: 50%' /><br /> <br /> 이렇게 고생하고 있을 무렵, 다음의 책에서 해답을 찾을 수 있었습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > 수학으로 시작하는 3D 게임 개발 ; <a target='tab' href='http://www.yes24.co.kr/24/goods/15291048'>http://www.yes24.co.kr/24/goods/15291048</a> </pre> <br /> 140 페이지에 보면, 다음의 공식이 나옵니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > θ<sub>x</sub> = -asin(M<sub>2,3</sub>) θ<sub>y</sub> = atan2(M<sub>1,3</sub>, M<sub>3,3</sub>) θ<sub>z</sub> = atan2(M<sub>2,1</sub>, M<sub>2,2</sub>) </pre> <br /> 이 공식이 재미있는 것은 θ<sub>x</sub>는 그렇다 치고, θ<sub>y</sub>와 θ<sub>z</sub>의 경우 R 행렬에 나왔던 2개의 공식을 모두 활용한다는 점입니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > θ<sub>y</sub> R[1,3] = xcos * ysin R[3,3] = xcos * ycos R[1,3] / R[3,3] = (xcos * ysin) / (xcos * ycos) = ysin / ycos = tan(θ<sub>y</sub>) θ<sub>z</sub> R[2,1] = xcos * zsin R[2,2] = xcos * zcos R[2,1] / R[3,3] = (xcos 8 zsin) / (xcos * zcos) = zsin / zcos = tan(θ<sub>z</sub>) </pre> <br /> 아니, 단순히 연립방정식으로 공식 하나에만 대입하면 될 것이라고 생각했는데... 저렇게 2개의 공식을 나눠야 할 거라고 저 같은 민간인이 어떻게 알 수 있겠습니까? ^^;<br /> <br /> 암튼 이 공식을 shader에서는 다음과 같이 코딩할 수 있습니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > yAngle = atan2(rotationMatrix[0].z, rotationMatrix[2].z); zAngle = atan2(rotationMatrix[1].x, rotationMatrix[1].y); </pre> <br /> 자, 그럼 모든 것이 끝났습니다. 이렇게 shader를 구성하고 Unity 에디터의 Transform 영역에서 Position, Rotation, Scale 값을 변경하면 그대로 값이 반영되는 것을 확인할 수 있습니다. (물론, 부동 소수점 연산의 특성상 미세한 오차는 있습니다.)<br /> <br /> 아래는 이 글의 모든 내용을 반영한 shader 소스 코드입니다.<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > Shader "My/worldMatrixShader" { Properties { _MainTex ("Texture", 2D) = "white" {} } SubShader { Tags { "RenderType"="Opaque" } LOD 100 Pass { CGPROGRAM #pragma vertex vert #pragma fragment frag #include "UnityCG.cginc" struct appdata { float4 vertex : POSITION; float2 uv : TEXCOORD0; }; struct v2f { float2 uv : TEXCOORD0; float4 vertex : SV_POSITION; }; sampler2D _MainTex; float4 _MainTex_ST; float4x4 GetRotationMatrix(float xRadian, float yRadian, float zRadian) { float sina, cosa; sincos(xRadian, sina, cosa); float4x4 xMatrix; xMatrix[0] = float4(1, 0, 0, 0); xMatrix[1] = float4(0, cosa, -sina, 0); xMatrix[2] = float4(0, sina, cosa, 0); xMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); sincos(yRadian, sina, cosa); float4x4 yMatrix; yMatrix[0] = float4(cosa, 0, sina, 0); yMatrix[1] = float4(0, 1, 0, 0); yMatrix[2] = float4(-sina, 0, cosa, 0); yMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); sincos(zRadian, sina, cosa); float4x4 zMatrix; zMatrix[0] = float4(cosa, -sina, 0, 0); zMatrix[1] = float4(sina, cosa, 0, 0); zMatrix[2] = float4(0, 0, 1, 0); zMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); return mul(mul(yMatrix, xMatrix), zMatrix); } v2f vert (appdata v) { v2f o; float4 pos = v.vertex; float4x4 scaleMatrix; vector sx = vector(unity_ObjectToWorld._m00, unity_ObjectToWorld._m10, unity_ObjectToWorld._m20, 0); vector sy = vector(unity_ObjectToWorld._m01, unity_ObjectToWorld._m11, unity_ObjectToWorld._m21, 0); vector sz = vector(unity_ObjectToWorld._m02, unity_ObjectToWorld._m12, unity_ObjectToWorld._m22, 0); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float scaleX</span> = length(sx); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float scaleY</span> = length(sy); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float scaleZ</span> = length(sz); scaleMatrix[0] = float4(scaleX, 0, 0, 0); scaleMatrix[1] = float4(0, scaleY, 0, 0); scaleMatrix[2] = float4(0, 0, scaleZ, 0); scaleMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); float4x4 rotationMatrix; rotationMatrix[0] = float4(unity_ObjectToWorld._m00 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m01 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m02 / scaleZ, 0); rotationMatrix[1] = float4(unity_ObjectToWorld._m10 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m11 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m12 / scaleZ, 0); rotationMatrix[2] = float4(unity_ObjectToWorld._m20 / scaleX, unity_ObjectToWorld._m21 / scaleY, unity_ObjectToWorld._m22 / scaleZ, 0); rotationMatrix[3] = float4(0, 0, 0, 1); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float xAngle</span> = asin(-rotationMatrix[1].z); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float yAngle</span> = atan2(rotationMatrix[0].z, rotationMatrix[2].z); <span style='color: blue; font-weight: bold'>float zAngle</span> = atan2(rotationMatrix[1].x, rotationMatrix[1].y); rotationMatrix = GetRotationMatrix(xAngle, yAngle, zAngle); float4x4 moveMatrix; <span style='color: blue; font-weight: bold'>float xPos</span> = unity_ObjectToWorld._m03; <span style='color: blue; font-weight: bold'>float yPos</span> = unity_ObjectToWorld._m13; <span style='color: blue; font-weight: bold'>float zPos</span> = unity_ObjectToWorld._m23; moveMatrix[0] = float4(1, 0, 0, xPos); moveMatrix[1] = float4(0, 1, 0, yPos); moveMatrix[2] = float4(0, 0, 1, zPos); moveMatrix[3] = float4(0, 0, 0, unity_ObjectToWorld._m33); float4x4 transformMatrix = mul(mul(moveMatrix, rotationMatrix), scaleMatrix); pos = mul(transformMatrix, pos); pos = mul(UNITY_MATRIX_V, pos); pos = mul(UNITY_MATRIX_P, pos); o.vertex = pos; o.uv = TRANSFORM_TEX(v.uv, _MainTex); return o; } fixed4 frag (v2f i) : SV_Target { fixed4 col = tex2D(_MainTex, i.uv); return col; } ENDCG } } } </pre> <br /> 첨부 파일은 "<a target='tab' href='http://www.yes24.co.kr/24/goods/15291048'>수학으로 시작하는 3D 게임 개발</a>" 책에서 주석으로 남긴 링크가,<br /> <br /> <pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' > Extracting Euler Angles from a Rotation Matrix ; <a target='tab' href='http://www.insomniacgames.com/mike-day-extracting-euler-angles-from-a-rotation-matrix/'>http://www.insomniacgames.com/mike-day-extracting-euler-angles-from-a-rotation-matrix/</a> </pre> <br /> 깨져 있어서 웹 검색을 하다가 발견한 해당 글의 pdf 파일입니다.<br /> </p><br /> <br /><hr /><span style='color: Maroon'>[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]</span> </div>
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