Microsoft MVP성태의 닷넷 이야기
Math: 48. C# - 가우시안 함수의 이산형(discrete) 커널 값 생성 [링크 복사], [링크+제목 복사]
조회: 2158
글쓴 사람
홈페이지
첨부 파일

가우시안 함수의 이산형(discrete) 커널 값 생성

shader 글에서 다룬,

Unity로 실습하는 Shader (7) - Blur (평균값, 가우스, 중간값) 필터
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11620

가우스 함수는,

${ G(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}e^{{{ -{x}^2 } \mathord{\left/ \right. } {2\sigma ^2 }}}
}$


${ G(x, y) = \frac{1}{{\sigma ^2 {2\pi } }}e^{{{ - \left( x^2 + y^2 \right) } \mathord{\left/ \right. } {2\sigma ^2 }}}
}$


연속 함수이긴 하지만, 영상 처리에서는 pixel 좌표가 정수로 떨어지므로 이산값으로 처리해야 합니다. 가령, 1x7 크기의 가우스 분포 값을 구한다면 "-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3" 값에 대해 위의 가우스 함수를 적용하면 됩니다.

따라서, σ = 1.0이고, x = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3] 구간에 대해 가우스 분포를 다음의 C# 코드로 구할 수 있습니다.

using System;

namespace gaussK
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] xArray = new int[] { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 };
            double sigma = 5.0;

            WriteHost(Gaussian(sigma, xArray));

            int[] xyArray = xArray;
            WriteHost(Gaussian2D(sigma, xyArray));

        }

        private static double[] Gaussian(double sigma, int[] xArray)
        {
            double[] result = new double[xArray.Length];

            double c = 2.0 * sigma * sigma;
            double sc = 1.0 / (Math.Sqrt(2 * Math.PI) * sigma);
            for (int i = 0; i < xArray.Length; i++)
            {
                double xValue = xArray[i];
                result[i] = sc * Math.Pow(Math.E, -(xValue * xValue) / c);
            }

            return result;
        }

        private static double[,] Gaussian2D(double sigma, int[] xyArray)
        {
            double[,] result = new double[xyArray.Length, xyArray.Length];

            double c = 2 * sigma * sigma;
            double sc = 1.0 / (c * Math.PI);

            for (int i = 0; i < xyArray.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < xyArray.Length; j++)
                {
                    double xValue = xyArray[i];
                    double yValue = xyArray[j];

                    result[i, j] = sc * Math.Pow(Math.E, -(xValue * xValue + yValue * yValue) / c);
                }
            }

            return result;
        }

        private static void WriteHost(double[] dblArray)
        {
            foreach (double value in dblArray)
            {
                Console.WriteLine(value.ToString("#0.000000"));
            }
        }

        private static void WriteHost(double[,] dblArray)
        {
            for (int i = 0; i < dblArray.GetLength(0); i++)
            {
                for (int j = 0; j < dblArray.GetLength(1); j++)
                {
                    Console.Write(dblArray[i, j].ToString("#0.000000") + ",");
                }

                Console.WriteLine();
            }
        }
    }
}

/*
출력 결과:

// sigma = 1, { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
0.004432
0.053991
0.241971
0.398942
0.241971
0.053991
0.004432

0.000020,0.000239,0.001072,0.001768,0.001072,0.000239,0.000020,
0.000239,0.002915,0.013064,0.021539,0.013064,0.002915,0.000239,
0.001072,0.013064,0.058550,0.096532,0.058550,0.013064,0.001072,
0.001768,0.021539,0.096532,0.159155,0.096532,0.021539,0.001768,
0.001072,0.013064,0.058550,0.096532,0.058550,0.013064,0.001072,
0.000239,0.002915,0.013064,0.021539,0.013064,0.002915,0.000239,
0.000020,0.000239,0.001072,0.001768,0.001072,0.000239,0.000020,

// sigma = 1, { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }
0.000134
0.004432
0.053991
0.241971
0.398942
0.241971
0.053991
0.004432
0.000134

0.000000,0.000001,0.000007,0.000032,0.000053,0.000032,0.000007,0.000001,0.000000,
0.000001,0.000020,0.000239,0.001072,0.001768,0.001072,0.000239,0.000020,0.000001,
0.000007,0.000239,0.002915,0.013064,0.021539,0.013064,0.002915,0.000239,0.000007,
0.000032,0.001072,0.013064,0.058550,0.096532,0.058550,0.013064,0.001072,0.000032,
0.000053,0.001768,0.021539,0.096532,0.159155,0.096532,0.021539,0.001768,0.000053,
0.000032,0.001072,0.013064,0.058550,0.096532,0.058550,0.013064,0.001072,0.000032,
0.000007,0.000239,0.002915,0.013064,0.021539,0.013064,0.002915,0.000239,0.000007,
0.000001,0.000020,0.000239,0.001072,0.001768,0.001072,0.000239,0.000020,0.000001,
0.000000,0.000001,0.000007,0.000032,0.000053,0.000032,0.000007,0.000001,0.000000,
*/

재미있는 것은, "Unity로 실습하는 Shader (7) - Blur (평균값, 가우스, 중간값) 필터" 글에서 소개한,

Gaussian Kernel Calculator
; http://dev.theomader.com/gaussian-kernel-calculator/

사이트의 결과와 다를 때가 많다는 점입니다. 일례로, sigma == 1.0, kernel size == 3일 때 이 글의 코드는 다음의 값을 출력하지만,

0.241971
0.398942
0.241971

0.058550,0.096532,0.058550,
0.096532,0.159155,0.096532,
0.058550,0.096532,0.058550,

"Gaussian Kernel Calculator" 글에서는 아래와 같이 다소 차이가 납니다.

0.27901
0.44198
0.27901

0.077847 0.123317 0.077847
0.123317 0.195346 0.123317
0.077847 0.123317 0.077847

원인은 간단합니다. 제 코드에서는 sigma == 1.0일 때의 커널 합이 0.88288...인데, sigma 값에 따른 분포가 -1 ~ +1의 범위에서 1차원 가우시안 함수로는 (연속이 아닌) 이산 값으로 약 88%만 점유하기 때문입니다. 즉, 나머지 12% 정도에 대한 값이 없어졌기 때문에 총합이 1이어야 하는 커널 마스크로는 부적합한 값이 생성된 것입니다.

이를 보완하는 방법으로는 sigma 값에 따라 커널 크기를 늘려 잡는 것이 있습니다. 가령, 가우시안 분포의 경우 -4σ ~ +4σ의 범위 값은 전체 분포의 약 99.99%를 차지하기 때문에 적절한 커널 크기로 σ의 4배 * 2배가 되어야 하며, 아울러 짝수가 아닌 홀수여야 하기 때문에 +1이 필요합니다.

int recommendedSize = sigma * 4 * 2 + 1;

sigma가 커질수록 가우시안 분포의 종 모양이 낮아지고 넓어지므로 99.99%를 차지하기 위해 커널의 크기가 급격하게 커지는 것을 볼 수 있습니다. 이렇다 보니 성능에 민감한 실시간 이미지 처리 프로그램에서는 부담스러울 수 밖에 없습니다.

이런 문제점을 "Gaussian Kernel Calculator" 글의 코드에서 보완하고 있습니다. 이것은 주어진 sigma에 따라 커널 크기를 임의로 잡아도 전체 가중치의 합이 1이 나오도록 보정하고 있는 것입니다. (코드가 자바스크립트로 공개되어 있으므로 여러분들이 사용하는 언어에 맞게 포팅할 수 있습니다.)




어차피 보정이니, 우리도 역시 마음대로 할 수 있습니다. 어찌 되었든 중요한 것은 마스크 배열의 합을 1에 근접하도록 유지하면 되는 것입니다. 따라서, 위에서 제 코드의 경우 sigma == 1.0, kernel size == 3인 경우 커널 합이 0.88288...이었으니, 나머지 0.11712... 값에 대해 배열 전체에 고르게 나눠주는 식으로 계산해 (임의의 정밀도 ε 차이를 만족하는) 1에 가깝게 만들 수도 있을 것입니다.

종 모양의 그래프로 보면, 양쪽 0.11712... 영역의 값을 중앙에 더하므로 종 모양이 고르게 올라오는 식의 보정 결과를 갖게 됩니다.

이런 보정을 하는 코드를 좀 멋있게 작성할 수도 있겠지만, 일단 다음과 같이 간단하게 총합이 1.0이 넘기 전까지 루프로 돌려 마스크 배열 값을 구하는 식으로 해보겠습니다.

double remains = (1.0 - sum) / dblArray.Length; // 커버하지 못한 종 모양의 영역 마스크 배열의 길이로 나누고,
double add = remains; // 초깃값을 지정 후,

double[] candidate = dblArray;

while (true)
{
    sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < dblArray.Length; i++)
    {
        dblArray[i] += remains;
        sum += dblArray[i];
    }

    if (sum >= 1.0)
    {
        break;
    }

    Array.Copy(dblArray, candidate, dblArray.Length);
    add += 0.000001;
}

위의 코드로 sigma == 25.0, kernel size == 5x5로 했을 때 제 경우에는 다음의 커널을 얻을 수 있고,

// sigma = 25.0, my
float gaussian5x5BlurFilter[25] =
{
    0.039998,0.039998,0.039998,0.039998,0.039998,
    0.039998,0.039999,0.039999,0.039999,0.039998,
    0.039998,0.039999,0.039999,0.039999,0.039998,
    0.039998,0.039999,0.039999,0.039999,0.039998,
    0.039998,0.039998,0.039998,0.039998,0.039998,
};

"Gaussian Kernel Calculator" 글의 경우 다음의 커널을 얻을 수 있습니다.

// sigma = 25.0, online
float gaussian5x5BlurFilter[25] =
{
    0.039872, 0.039968, 0.04    , 0.039968, 0.039872,
    0.039968, 0.040064, 0.040096, 0.040064, 0.039968,
    0.04    , 0.040096, 0.040128, 0.040096, 0.04    ,
    0.039968, 0.040064, 0.040096, 0.040064, 0.039968,
    0.039872, 0.039968, 0.04    , 0.039968, 0.039872,
};

이를 지난번 글에서 다룬 shader에 적용해 보면, 지구본이 각각 다음과 같이 출력됩니다.

gaussian_kernel_1.pnggaussian_kernel_2.png

2개의 mask 배열에 대한 차이가 미미해서 솔직히 어느 게 어느 출력인지 구분이 안 갈 정도로 동일합니다.

(첨부 파일은 이 글의 소스 코드를 포함합니다.)




참고로 다음의 글에 보면,

Efficient Gaussian blur with linear sampling
; http://rastergrid.com/blog/2010/09/efficient-gaussian-blur-with-linear-sampling/

특정 크기에 대해 파스칼의 삼각형을 이용한 가우시안 분포의 근삿값을 구하는 방법을 설명하고 있습니다.




[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]





[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 7/24/2018 ]

Creative Commons License
이 저작물은 크리에이티브 커먼즈 코리아 저작자표시-비영리-변경금지 2.0 대한민국 라이센스에 따라 이용하실 수 있습니다.
by SeongTae Jeong, mailto:techsharer@outlook.com

비밀번호

댓글 쓴 사람
 




... 16  [17]  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  ...
NoWriterDateCnt.TitleFile(s)
11676정성태8/29/20182334.NET Framework: 791. C# - ElasticSearch를 위한 Client 라이브러리 제작파일 다운로드1
11675정성태8/29/20181603오류 유형: 481. The located assembly's manifest definition does not match the assembly reference.
11674정성태8/29/20181896Phone: 12. Xamarin - 기존 리모컨 기능을 핸드폰의 적외선 송신으로 구현파일 다운로드1
11673정성태8/28/20181570오류 유형: 480. Fritzing 실행 시 Ordinal Not Found 오류
11672정성태8/28/20181364오류 유형: 479. 윈도우 - 시스템 설정에서 도메인 참가를 위한 "Change" 버튼이 비활성화된 경우
11671정성태10/23/20183267사물인터넷: 39. 아두이노에서 적외선 송신기 기본 사용법파일 다운로드1
11670정성태10/17/20182662사물인터넷: 38. 아두이노에서 적외선 수신기 기본 사용법파일 다운로드1
11669정성태8/24/20181777개발 환경 구성: 394. 윈도우 환경에서 elasticsearch의 한글 블로그 검색 인덱스 구성
11668정성태8/28/20181773오류 유형: 478. 윈도우 업데이트(KB4458842) 이후 SQL Server 서비스 시작 오류
11667정성태8/28/20181561오류 유형: 477. "Use Unicode UTF-8 for worldwide language support" 옵션 설정 시 SQL Server 2016 설치 오류 [1]
11666정성태8/22/20181485사물인터넷: 37. 아두이노 - 코딩으로 대신하는 오실레이터 회로의 소리 출력파일 다운로드1
11665정성태8/22/20182068사물인터넷: 36. 오실레이터 회로 동작을 아두이노의 코딩으로 구현하는 방법파일 다운로드1
11664정성태8/22/20182347개발 환경 구성: 393. 윈도우 환경에서 elasticsearch의 한글 형태소 분석기 설치
11663정성태8/25/20183018개발 환경 구성: 392. 윈도우 환경에서 curl.exe를 이용한 elasticsearch 6.x 기본 사용법
11662정성태8/21/20181660사물인터넷: 35. 병렬 회로에서의 커패시터파일 다운로드1
11661정성태8/21/20181591사물인터넷: 34. 트랜지스터 동작 - 컬렉터-이미터 간의 저항 측정파일 다운로드1
11660정성태9/4/20181462사물인터넷: 33. 세라믹 커패시터의 동작 방식파일 다운로드1
11659정성태8/19/20181682사물인터넷: 32. 9V 전압에서 테스트하는 PN2222A 트랜지스터파일 다운로드1
11658정성태8/18/20182558사물인터넷: 31. 커패시터와 RC 회로파일 다운로드3
11657정성태8/21/20182092사물인터넷: 30. 릴레이(Relay) 제어파일 다운로드3
11656정성태8/18/20181251사물인터넷: 29. 트랜지스터와 병렬로 연결한 LED파일 다운로드1
11655정성태8/18/20182104사물인터넷: 28. 저항과 병렬로 연결한 LED파일 다운로드1
11654정성태8/18/20181614사물인터넷: 27. 병렬 회로의 저항, 전압 및 전류파일 다운로드1
11653정성태8/18/20181447사물인터넷: 26. 입력 전압에 따른 LED의 전압/저항 변화파일 다운로드1
11652정성태9/11/20181365사물인터넷: 25. 컬렉터 9V, 베이스에 5V와 3.3V 전압으로 테스트하는 C1815 트랜지스터파일 다운로드1
11651정성태9/4/20182646사물인터넷: 24. 9V 전압에서 테스트하는 C1815 트랜지스터파일 다운로드3
... 16  [17]  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  ...