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<div style='display: inline'>
<h1 style='font-family: Malgun Gothic, Consolas; font-size: 20pt; color: #006699; text-align: center; font-weight: bold'>GeoGebra 기하 (24) - 정다각형</h1>

지오지브라 수학 앱을 이용해, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a>
</pre>
 
이번엔 정다각형을 작도해 보겠습니다. ^^ 
 
우선, 살짝 이상하지만 이각형에서 시작해 볼까요? ^^ 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
이각형
; <a target='tab' href='https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EA%B0%81%ED%98%95'>https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EA%B0%81%ED%98%95</a>
</pre>
 
정이각형의 작도는 원의 중심을 지나는 선과 원 호의 교점을 잡으면 됩니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_1.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_1.png' /> 
 
이로부터 정사각형을 만들 수 있습니다. 각 변으로부터 이등분한 위치에 점을 잡고(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Perpendicular Bisector</a>) 연결만 하면 되기 때문입니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_2.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_2.png' /> 
 
다시 이로부터 각 변을 이등분해 연결하면 정팔각형을 만들 수 있습니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_3.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_3.png' /> 
 
이런 요령으로 정2n각형들을 작도할 수 있습니다. 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
정2n각형에서 정삼각형은 작도가 안 됩니다. 따라서 새롭게 작도해야 하는데요, 이건 예전에 해봤습니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
GeoGebra 기하 (9) - 임의의 선분을 한 변으로 갖는 정삼각형
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579</a>
</pre>
 
<img alt='regular_n_polygon_4.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_4.png' /> 
 
역시 이것으로부터 각 변을 이등분하면 정육각형을 작도할 수 있습니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_5.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_5.png' /> 
 
따라서 정삼각형에서 시작하는 3 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다. 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
또 다른 시작점으로 정5각형을 들 수 있습니다. 이건 좀 작도가 이전 것과 비교해 약간 복잡한데요. 우선, 원의 중심을 지나는 선과 그 선의 수직선(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>)을 작도합니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_6.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_6.png' /> 
 
이제 선분 AE의 중점을 잡고(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Midpoint or Center</a>), 그 중점과 점 D를 반지름으로 하는 원을 작도합니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_7.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_7.png' /> 
 
그럼 위에서와 같이 점 F를 중심으로 한 원과, 원 A의 중심을 지나는 선과의 교점 G를 구할 수 있습니다. 이제 다시 점 D를 중심으로, 선분 DG를 반지름으로 한 원을 그립니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_8.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_8.png' /> 
 
그럼, 위와 같이 점 H와 점 I의 위치를 결정할 수 있게 되고 점 D로부터 선을 연결하면 일단 정5각형의 두 변을 그릴 수 있게 됩니다. 정다각형의 특성상, 하나의 변이라도 길이를 구하면 게임은 끝난 것입니다. 이제부터는 선분 DH든지, 선분 DI든지 그 길이를 반지름으로 하는 원을 반복해서 그리면서 변의 길이를 잡아나가면 정 5각형을 작도할 수 있게 됩니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_9.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_9.png' /> 
 
정5각형을 그렸으니, 이제 또다시 각 변을 이등분하면 정십각형을 그릴 수 있습니다. 
 
<img alt='regular_n_polygon_10.png' src='/SysWebRes/bbs/regular_n_polygon_10.png' /> 
 
따라서 정오각형에서 시작하는 5 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다. 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
그러고 보니, 정오각형 관련해서 쓴 글이 2개 있군요. ^^ 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
C# - 펜타그램(Pentagram) 그리기
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/1310'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/1310</a>

황금비율 증명
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312</a>
</pre>
 
저 글에서 "<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312#polynomial'>2. 황금비율을 공식으로 정리</a>"에 보면, 결국 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같은 이차방정식이 됩니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
x2 - x - 1 = 0
</pre>
 
그리고 이에 대한 해는, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
x1 = (1 + √5) / 2, 
x2 = (1 - √5) / 2
</pre>
 
이고, 음의 해는 작도로써 부적절하므로 정오각형의 한 변의 길이는 (1 + √5) / 2가 됩니다. 정오각형이 작도가 가능하다는 것을 바로 이 방정식으로부터도 알 수 있습니다. 왜냐하면 (1 + √5) / 2 길이는 이전에 쓴 글에서, 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
GeoGebra 기하 (23) - sqrt(n) 제곱근
; <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11603'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11603</a>
</pre>
 
작도 가능한 길이라고 증명했기 때문입니다. 이것을 달리 말하면, 해당 정다각형의 작도 가능 여부를 방정식으로 표현해 알 수 있다는 점입니다. 가령, 이제까지 정2각형, 정3각형, 정5각형을 기반으로 정다각형을 작도하는 방법을 알아봤는데, 이를 통해 다음과 같은 식의 정다각형들이 작도가 됩니다. 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,256,320,384,512,640,768,...
</pre>
 
생각보다 많지 않습니다. 대체로 저 사이에 있는 것들(예: 7,9,11,13,.. 등)은 오랜 시간 동안 작도를 하기 위해 노력해 왔으나, 이후에 방정식을 통해 그것들이 작도 불가능함이 판명됐습니다. 재미있는 것은, 이렇게 방정식을 통해 증명이 되었는데도 불구하고 여전히 노력하는 사람들이 있다는 점입니다. ^^ 
 
참고로, 의외의 정다각형들이 작도가 된다는 것을 볼 수 있는데 가령 정17각형과 같은 것들은 (가우스에 의해 발견되어) 작도가 가능하다고 합니다. 그렇다면 당연히 정17각형을 기준으로 17 * 2n각형들은 작도가 가능해지는 것입니다. 
 
(<a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/bbs/DownloadAttachment.aspx?fid=1316&amp;boardid=331301885'>첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일</a>입니다.) 
 
<hr style='width: 50%' /> 
 
<pre style='margin: 10px 0px 10px 10px; padding: 10px 0px 10px 10px; background-color: #fbedbb; overflow: auto; font-family: Consolas, Verdana;' >
Basic Tools
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Move</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Point</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a>

Edit
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Show / Hide Label</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Show / Hide Object</a>

Construct
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Midpoint or Center</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11570'>Perpendicular Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Perpendicular Bisector</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11573'>Parallel Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11577'>Angle Bisector</a>

Measure
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Angle</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11593'>Angle with Given Size</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Distance or Length</a>

Lines
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Segment</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11576'>Segment with Given Length</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11591'>Line</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Ray</a>

Circles
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11569'>Circle with Center through Point</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11574'>Compass</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11578'>Circumcircular Arc</a>

Polygons
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11584'>Polygon</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579'>Regular Polygon</a>

GeoGebra 메뉴 관련 기능
 Steps - <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>Animation</a>

Settings - <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602</a>
 <a target='tab' href='http://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602'>Show Trace</a>
</pre>

<hr />[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]

</div>

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