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Math: 11. C# 시뮬레이션 - 몬티홀 게임 [링크 복사], [링크+제목 복사]
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정성태 (techsharer at outlook.com)
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C# 시뮬레이션 - 몬티홀 게임

회사에 ^^ 이런 재미있는 소재를 이야기 해주는 직원이 있습니다. 어느 날은 몬티홀 게임 문제를 냈는데요. 초보 통계 책 한번이라도 보신 분들은 이와 비슷한 유형의 문제를 본 적이 있기 때문에 쉽게 풀(찍을) 수 있습니다.

일단, 기본적인 상황은 다음과 같습니다.

  1. 3개의 카드가 있고, 그 중 하나의 카드에만 페라리가 그려져 있습니다.
  2. 섞여진 카드에서 여러분은 카드 하나를 펼치고, 그것이 페라리라면 여러분이 갖는 것입니다.

자, 위의 문제만 보면 여러분은 1/3의 확률로 페라리를 가질 수 있다는 것은 누구나 알 수 있습니다.

그런데 몬티홀 게임에서는 다음과 같은 가정이 하나 들어갑니다.

  1. 3개의 카드가 있고, 그 중 하나의 카드에만 페라리가 그려져 있습니다.
  2. 섞여진 카드에서 여러분은 카드 하나를 (펼치지 않고) 선택합니다.
  3. 사회자가 선택되지 않은 나머지 2개의 카드 중에서 페라리가 아닌 그림을 펼쳐주고 여러분들에게 다시 한번 선택의 기회를 줍니다.

여러분은 이 상황에서 기존에 선택한 것을 취소하고 남아있는 다른 카드를 선택하시겠습니까? 아니면 기존 카드를 고수하시겠습니까? ^^

기존 카드를 고수하면 페라리를 가질 확률은 1/3이지만, 선택을 바꾼다면 페라리를 가질 확률은 2/3로 굉장히 높아집니다.




어떻게 그런 식으로 확률이 변하는지에 대해 이해하려면 간단한 확률 트리를 그려보면 됩니다. 우선, 사회자가 아무런 간섭을 하지 않았을 때는 누가 봐도 1/3의 확률이므로 그건 그려볼 필요도 없겠고. 이제 사회자가 간섭하는 경우를 따져 보겠습니다.

일단, 여러분들이 선택할 경우의 수는 "정답", "꽝1", "꽝2"로 3가지가 있습니다. 그 3가지에 대해 각각 사회자가 간섭했을 때 여러분들이 선택을 바꾼다면 어떻게 되는지 간단하게 따져 보겠습니다.

  • 처음에 "정답"을 선택한 경우, 선택을 바꾼다면 나머지 2개는 모두 "꽝"이므로 무조건 "꽝"이 됨.
  • 처음에 "꽝1"을 선택한 경우, 사회자는 "꽝2"를 펼쳐줄 것이므로 선택을 바꾼다면 무조건 "정답"이 됨.
  • 처음에 "꽝2"를 선택한 경우, 사회자는 "꽝1"을 펼쳐줄 것이므로 선택을 바꾼다면 무조건 "정답"이 됨.

보셨죠? ^^ 사회자가 남아있는 "꽝"을 하나 보여준 경우 여러분들이 선택을 바꾼다면 3번의 시도 중에 2번은 "정답"으로 자연스럽게 선택이 되는 것입니다.

즉, 몬티홀 게임 문제는 따져보면 결국 다음과 같은 하나의 문장으로 표현을 바꿀 수 있습니다.

몬티홀 게임 확률은 3개의 카드 중에 "꽝"을 선택할 확률과 같다.

직원이 소개해 준 다음의 위키에 이 게임에 대한 설명이 아주 자세하게 나와 있습니다.

몬티홀 게임 
; http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EB%AA%AC%ED%8B%B0%ED%99%80

몬티홀 게임 - 시뮬레이션
; http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm

참고로, 저도 시뮬레이션을 C#으로 만들어 보았습니다.

우선 3개의 카드를 표현한 후 선택을 모두 취소시키고,

this.ComputerSide = new Side[3];
this.UserSide = new Side[3];

for (int i = 0; i < this.ComputerSide.Length; i++)
{
    this.ComputerSide[i] = new Side();
    this.ComputerSide[i].Index = i;

    this.UserSide[i] = new Side();
    this.UserSide[i].Index = i;
}

Array.ForEach(this.ComputerSide, e => e.Clear());
Array.ForEach(this.UserSide, e => e.Clear());

랜덤 함수를 이용해 페라리가 그려진 카드가 위치할 번호를 컴퓨터가 정하게 하고,

// 컴퓨터 측의 정답 선택
int computerChoice = _rand.Next(0, 3);
this.ComputerSide[computerChoice].Current = true;

이어서 사용자 측의 답도 선택하게 합니다.

int userChoice = _rand.Next(0, 3);

만약 이 상태에서 computerChoice와 userChoice를 비교하는 것으로 마무리 지으면 일반적인 1/3의 확률로 사용자가 페라리 카드를 맞추게 됩니다.

하지만 사회자가 사용자가 선택한 카드를 제외한 나머지 2개의 카드를 구하고,

// 사용자가 선택한 것을 제외한 카드를 얻고,
var remains = this.UserSide.Where((e) => e.Index != userChoice);

남은 2장의 카드에서 컴퓨터가 정답으로 선택하지 않은 항목을 찾아 사용자가 선택하면,

// 남은 선택 중에서 컴퓨터가 정답으로 선택하지 않은 항목을 찾아,
Side slotToDelete = remains.Where((e) => e.Index != computerChoice).First();

// 그 항목을 제외한 나머지 카드의 번호를 사용자가 새롭게 선택한 것으로 채택
int newUserChoice = remains.Where((e) => e != slotToDelete).First().Index;

이제 newUserChoice와 최초의 컴퓨터가 선택한 computerChoice의 값을 비교해서 일치 여부를 결정할 수 있고 그 횟수를 세어 확률을 구하면 됩니다.

참고로, 이렇게 해서 시뮬레이션을 돌리니 다음과 같이 66%의 확률로 여러분들이 맞출 수 있다고 나오는 군요. ^^

montysim_1.png

위의 코드 파일은 첨부해 두었습니다. (시뮬레이션에 충실하기 위해 일부러 사용자와 사회자가 할 수 있는 모든 스텝을 코드로 넣었기 때문에 다소 비효율적인 동작을 하게 되었음을 감안해 주세요. ^^)





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[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 1/9/2014 ]

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