C# 시뮬레이션 - 몬티홀 게임
회사에 ^^ 이런 재미있는 소재를 이야기 해주는 직원이 있습니다. 어느 날은 몬티홀 게임 문제를 냈는데요. 초보 통계 책 한번이라도 보신 분들은 이와 비슷한 유형의 문제를 본 적이 있기 때문에 쉽게 풀(찍을) 수 있습니다.
일단, 기본적인 상황은 다음과 같습니다.
- 3개의 카드가 있고, 그 중 하나의 카드에만 페라리가 그려져 있습니다.
- 섞여진 카드에서 여러분은 카드 하나를 펼치고, 그것이 페라리라면 여러분이 갖는 것입니다.
자, 위의 문제만 보면 여러분은 1/3의 확률로 페라리를 가질 수 있다는 것은 누구나 알 수 있습니다.
그런데 몬티홀 게임에서는 다음과 같은 가정이 하나 들어갑니다.
- 3개의 카드가 있고, 그 중 하나의 카드에만 페라리가 그려져 있습니다.
- 섞여진 카드에서 여러분은 카드 하나를 (펼치지 않고) 선택합니다.
- 사회자가 선택되지 않은 나머지 2개의 카드 중에서 페라리가 아닌 그림을 펼쳐주고 여러분들에게 다시 한번 선택의 기회를 줍니다.
여러분은 이 상황에서 기존에 선택한 것을 취소하고 남아있는 다른 카드를 선택하시겠습니까? 아니면 기존 카드를 고수하시겠습니까? ^^
기존 카드를 고수하면 페라리를 가질 확률은 1/3이지만, 선택을 바꾼다면 페라리를 가질 확률은 2/3로 굉장히 높아집니다.
어떻게 그런 식으로 확률이 변하는지에 대해 이해하려면 간단한 확률 트리를 그려보면 됩니다. 우선, 사회자가 아무런 간섭을 하지 않았을 때는 누가 봐도 1/3의 확률이므로 그건 그려볼 필요도 없겠고. 이제 사회자가 간섭하는 경우를 따져 보겠습니다.
일단, 여러분들이 선택할 경우의 수는 "정답", "꽝1", "꽝2"로 3가지가 있습니다. 그 3가지에 대해 각각 사회자가 간섭했을 때 여러분들이 선택을 바꾼다면 어떻게 되는지 간단하게 따져 보겠습니다.
- 처음에 "정답"을 선택한 경우, 선택을 바꾼다면 나머지 2개는 모두 "꽝"이므로 무조건 "꽝"이 됨.
- 처음에 "꽝1"을 선택한 경우, 사회자는 "꽝2"를 펼쳐줄 것이므로 선택을 바꾼다면 무조건 "정답"이 됨.
- 처음에 "꽝2"를 선택한 경우, 사회자는 "꽝1"을 펼쳐줄 것이므로 선택을 바꾼다면 무조건 "정답"이 됨.
보셨죠? ^^ 사회자가 남아있는 "꽝"을 하나 보여준 경우 여러분들이 선택을 바꾼다면 3번의 시도 중에 2번은 "정답"으로 자연스럽게 선택이 되는 것입니다.
즉, 몬티홀 게임 문제는 따져보면 결국 다음과 같은 하나의 문장으로 표현을 바꿀 수 있습니다.
몬티홀 게임 확률은 3개의 카드 중에 "꽝"을 선택할 확률과 같다.
직원이 소개해 준 다음의 위키에 이 게임에 대한 설명이 아주 자세하게 나와 있습니다.
몬티홀 게임
; http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EB%AA%AC%ED%8B%B0%ED%99%80
몬티홀 게임 - 시뮬레이션
; http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm
참고로, 저도 시뮬레이션을 C#으로 만들어 보았습니다.
우선 3개의 카드를 표현한 후 선택을 모두 취소시키고,
this.ComputerSide = new Side[3];
this.UserSide = new Side[3];
for (int i = 0; i < this.ComputerSide.Length; i++)
{
this.ComputerSide[i] = new Side();
this.ComputerSide[i].Index = i;
this.UserSide[i] = new Side();
this.UserSide[i].Index = i;
}
Array.ForEach(this.ComputerSide, e => e.Clear());
Array.ForEach(this.UserSide, e => e.Clear());
랜덤 함수를 이용해 페라리가 그려진 카드가 위치할 번호를 컴퓨터가 정하게 하고,
// 컴퓨터 측의 정답 선택
int computerChoice = _rand.Next(0, 3);
this.ComputerSide[computerChoice].Current = true;
이어서 사용자 측의 답도 선택하게 합니다.
int userChoice = _rand.Next(0, 3);
만약 이 상태에서 computerChoice와 userChoice를 비교하는 것으로 마무리 지으면 일반적인 1/3의 확률로 사용자가 페라리 카드를 맞추게 됩니다.
하지만 사회자가 사용자가 선택한 카드를 제외한 나머지 2개의 카드를 구하고,
// 사용자가 선택한 것을 제외한 카드를 얻고,
var remains = this.UserSide.Where((e) => e.Index != userChoice);
남은 2장의 카드에서 컴퓨터가 정답으로 선택하지 않은 항목을 찾아 사용자가 선택하면,
// 남은 선택 중에서 컴퓨터가 정답으로 선택하지 않은 항목을 찾아,
Side slotToDelete = remains.Where((e) => e.Index != computerChoice).First();
// 그 항목을 제외한 나머지 카드의 번호를 사용자가 새롭게 선택한 것으로 채택
int newUserChoice = remains.Where((e) => e != slotToDelete).First().Index;
이제 newUserChoice와 최초의 컴퓨터가 선택한 computerChoice의 값을 비교해서 일치 여부를 결정할 수 있고 그 횟수를 세어 확률을 구하면 됩니다.
참고로, 이렇게 해서 시뮬레이션을 돌리니 다음과 같이 66%의 확률로 여러분들이 맞출 수 있다고 나오는군요. ^^
위의 코드 파일은 첨부해 두었습니다. (시뮬레이션에 충실하기 위해 일부러 사용자와 사회자가 할 수 있는 모든 스텝을 코드로 넣었기 때문에 다소 비효율적인 동작을 하게 되었음을 감안해 주세요. ^^)
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