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GeoGebra 기하 (21) - 반전기하학의 직선 및 원에 관한 반사변환

지오지브라 수학 앱을 이용해,

GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568

반전기하학에 대한 작도를 알아보겠습니다.

반전기하학
; https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%98%EC%A0%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99

우선 평면에서 한 점을 선에 대해 반사변환을 해보겠습니다.

reflect_line_1.png

사실 이것은 너무나 직관적으로, 해당 선에 대하 수직선을 긋고(Perpendicular Line) 그 교점을 중심으로 원을 그리면(Circle with Center through Point) 또 다른 점의 위치가 결정이 됩니다.

reflect_line_2.png




원에 대한 반사변환은 좀 특이합니다. 지난 글에서,

GeoGebra 기하 (18) - 원의 중심 및 접선
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11594

(0,0) 원점을 중심으로 하는 원의 방정식을,

x12 + y12 =  r2 (r == 반지름)

그려 보면,

reflect_circle_1.png

피타고라스 정리에 의해 쉽게 그 이유가 나옵니다.

(선분 AF)2 + (선분 FC)2 = (선분 AC)2

선분 AF = x 축의 값
선분 FC = y 축의 값
선분 AC = 반지름 r

x12 + y12 =  r2

r2이 되는 또 다른 경우를 보겠습니다. 위의 그림에서 다음과 같이 선분 AC에 임의의 점을 하나 찍었습니다.

reflect_circle_2.png

점 H는 알고 있고 점 ?의 위치는 알 수 없는 상태입니다. 이때 다음과 같은 공식을 만족하는 점 ?의 위치가 있을 것입니다.

(선분 AH) * (선분 A?) = (선분 AC)2

예를 들어 점 H의 위치가 점 C와 같다면,

(선분 AH) * (선분 AH) = (선분 AC)2

결국 원 호를 이루는 모든 점이 될 것입니다. 그런데 점 H를 직선을 따라 안쪽으로 이동시켰을 경우, 즉 반지름 r보다 값이 작아진다면 점 ?의 위치는 r보다 커져야 할 것입니다. 바로 그 위치를 작도해 보는 것입니다.

방법은, 선분 AH에 수직 이등분선을 긋고(Perpendicular Bisector),

reflect_circle_3.png

그 선과 원 A와 만나는 교점을 J라고 했을 때, 이제 점 A와 그 교점 J를 현으로 하는 원을 구해야 합니다. 이를 위해 현의 중점으로부터 역시 수직 이등분선을 그으면,

reflect_circle_4.png

위와 같이 수직 이등분선과 선분 AC의 연장선 위에 만나는 교점 K가 결정되는데 바로 그 위치가 ?에 해당합니다. 그래서 결국 다음의 공식이 성립합니다.

(선분 AH) * (선분 AK) = r2

증명은 다음과 같이 정리(Show / Hide Object) 후 보조선을 그어 보면 모습을 드러냅니다.

reflect_circle_5.png

삼각형 AJH는 이등변 삼각형이고 삼각형 JKA 또한 이등변 삼각형입니다. 이로부터 삼각형 JKA의 각 KJA와 각 KAJ는 같기 때문에 두 개의 이등변 삼각형은 두 각이 같으므로 닮음 조건을 만족합니다. 따라서 밑변과 빗변의 비율이 같으므로 다음의 식이 성립합니다.

    (선분 AH) : (선분 AJ) = (선분 JA) : (선분 JK)
==> (선분 AJ) * (선분 JA) = (선분 AH) * (선분 JK)
==> r * r = (선분 AH) * (선분 JK)
==> r2 = (선분 AH) * (선분 AK)

물론 반대로도 위치를 잡을 수 있는데 이 과정은 위의 것과 반대로 하면 됩니다. 예를 들어, 점 K를 다음과 같이 원 밖에서 결정했을 때,

reflect_circle_6.png

점 K를 중심으로 선분 AK를 반지름으로 하는 원을 그리면 원 K와 원 A의 교점이 생기고,

reflect_circle_7.png

그 교점 J로부터 선분 AC에 수선의 발을 내리면(Perpendicular Line),

reflect_circle_8.png

점 I가 결정되므로 선분 IA를 반지름으로 하는 원을 그리면 점 H가 결정되는 것으로 완료됩니다.




자, 그럼 이제 간단하게 애니메이션 테스트를 할 수 있습니다. 점 H의 위치를 원 A의 반지름 내에서 이동해 주면 r2을 만족하기 위해 점 K의 위치가 그에 맞게 이동합니다.

reflect_circle_9.gif

이를 달리 말하면, 선분 AC의 구간이 (K가 아무리 멀어져도) 선분 CK의 구간과 일대일 대응 관계를 수립한다는 것입니다. 단지, 여기서 문제가 되는 것은 점 H가 원 A의 중심에 가까워져 그 길이가 0이 되면 점 K의 지점이 무한대로 멀어진다는 것인데, 점 A의 반전은 "무한원점"에 대응한다면서 여전히 일대일 대응 관계가 수립하는데 문제가 없다고 합니다.

(첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일입니다.)




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    Move
    Point
    Segment
    Line
    Polygon
    Circle with Center through Point

Edit
    Show / Hide Label
    Show / Hide Object

Construct
    Midpoint or Center
    Perpendicular Line
    Perpendicular Bisector
    Parallel Line
    Angle Bisector

Measure
    Angle
    Angle with Given Size
    Distance or Length

Lines
    Segment
    Segment with Given Length
    Line
    Ray

Circles
    Circle with Center through Point
    Compass
    Circumcircular Arc

Polygons
    Polygon
    Regular Polygon

GeoGebra 메뉴 관련 기능
    Steps - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568




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[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 7/11/2018 ]

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