Microsoft MVP성태의 닷넷 이야기
Math: 55. C# - 다항식을 위한 최소 자승법(Least Squares Method) [링크 복사], [링크+제목 복사]
조회: 1343
글쓴 사람
홈페이지
첨부 파일

C# - 다항식을 위한 최소 자승법(Least Squares Method)

지난 글에서,

C# - 행렬식을 이용한 최소 자승법(LSM: Least Square Method)
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11918

최소 자승법(최소 제곱법)을 이용해 1차 함수로 근사하는 것을 봤는데요, 이를 2차, 3차,...로 확장하는 것은 다음과 같이 매우 쉽습니다.

θ0 + θ1x1 + θ2x12 = y1
θ0 + θ1x2 + θ2x22 = y2
...
θ0 + θ1xn + θ2xn2 = yn



θ0 + θ1x1 + θ2x12 + θ3x13 = y1
θ0 + θ1x2 + θ2x22 + θ3x13 = y2
...
θ0 + θ1xn + θ2xn2 + θ3x13 = yn



따라서 행렬을 사용하는 경우 그냥 늘어나는 방정식의 계수만큼 행을 추가해 의사역행렬을 구한 후 연산하면 매개변수를 구할 수 있습니다.

private static double[] GetPolynomial(double[] xData, double[] yData, int numberOfEfficient)
{
    Matrix<double> matA = CreateMatrix.DenseOfColumnMajor(xData.Count(), 1, xData);
    Vector<double> add1 = Vector<double>.Build.DenseOfArray(Enumerable.Repeat(1.0, xData.Count()).ToArray());
    matA = matA.InsertColumn(1, add1);

    for (int i = 1; i < numberOfEfficient; i++)
    {
        double[] newColumnData = xData.Select((elem) => Math.Pow(elem, i + 1)).ToArray();
        Vector<double> addX = Vector<double>.Build.DenseOfArray(newColumnData);
        matA = matA.InsertColumn(0, addX);
    }

    Console.WriteLine(matA);
    Matrix<double> matB = CreateMatrix.DenseOfColumnMajor(yData.Count(), 1, yData);

    Matrix<double> pinvMatA = matA.PseudoInverse();
    Console.WriteLine(pinvMatA);

    Matrix<double> matX = pinvMatA * matB;
    return matX.AsColumnMajorArray();
}

[파란색 - 1차 함수, 빨간색 - 2차 함수, 노란색 3차 함수]
lsm_polynomial_1.png

일반적으로 차수가 올라갈수록 (과적합의 문제가 발생할 수 있지만) 오류는 더 적어집니다. 확인을 위해 간단하게 다음과 같이 작성해 보면,

private static void ReportError(double[] xData, double[] yData, Func<double, double> func)
{
    double error = 0.0;

    for (int i = 0; i < xData.Length; i ++)
    {
        double diff = yData[i] - func(xData[i]);
        error += (diff * diff);
    }

    Console.WriteLine("Error: " + error);
}
/*
1차: Error: 19086.9489618992
2차: Error: 6555.72459287144
3차: Error: 5038.32058563331
*/

1차에 비해 2차에서 두드러지게 오류가 낮아지는 것을 볼 수 있습니다. 따라서 이런 경우 효율을 고려한다면 2차 함수를 사용하는 것이 좋은 선택일 수 있습니다.

(첨부 파일은 이 글의 예제 코드를 포함합니다.)




지난 글에서 행렬 라이브러리를 직접 사용하지 않고 1차 근사식에 대한 매개 변수를 구하는 방법을 알아봤는데요,

C# - 최소 자승법의 1차 함수에 대한 매개변수를 단순 for 문으로 구하는 방법
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11919

말 그대로 연립 방정식이므로 가우스 소거법을 이용해 매개 변수를 구하는 것도 가능합니다. 코드가 눈에 잘 안 들어오지만 어차피 복붙으로 써야 하는 것이라 큰 문제는 안 될 것입니다. ^^

Linear Equation Solver - Gaussian Elimination (C#)
; https://www.codeproject.com/Tips/388179/Linear-Equation-Solver-Gaussian-Elimination-Csharp

Gaussian elimination
; https://rosettacode.org/wiki/Gaussian_elimination#C.23

Solve a system of equations with Gaussian elimination in C#
; http://csharphelper.com/blog/2014/10/solve-a-system-of-equations-with-gaussian-elimination-in-c/

[C#/WINFORM] 다항식 최소 제곱법(Polynomial Least Squares Method) 사용하기
; https://icodebroker.tistory.com/5580




[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]

[연관 글]





[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 5/28/2019 ]

Creative Commons License
이 저작물은 크리에이티브 커먼즈 코리아 저작자표시-비영리-변경금지 2.0 대한민국 라이센스에 따라 이용하실 수 있습니다.
by SeongTae Jeong, mailto:techsharer@outlook.com

비밀번호

댓글 쓴 사람
 




[1]  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  ...
NoWriterDateCnt.TitleFile(s)
12207정성태4/2/202071스크립트: 19. Windows PowerShell의 NonInteractive 모드
12206정성태4/2/202044오류 유형: 613. 파일 잠금이 바로 안 풀린다면? - The process cannot access the file '...' because it is being used by another process.
12205정성태4/2/202040스크립트: 18. Powershell에서는 cmd.exe의 명령어를 지원하진 않습니다.
12204정성태4/1/202029스크립트: 17. Powershell 명령어에 ';' (semi-colon) 문자가 포함된 경우
12203정성태3/18/202084오류 유형: 612. warning: 'C:\ProgramData/Git/config' has a dubious owner: '...'.
12202정성태3/18/2020119개발 환경 구성: 486. .NET Framework 프로젝트를 위한 GitLab CI/CD Runner 구성
12201정성태3/18/202047오류 유형: 611. git-credential-manager.exe: Using credentials for username "Personal Access Token".
12200정성태3/18/2020171VS.NET IDE: 145. NuGet + Github 라이브러리 디버깅 관련 옵션 3가지 - "Enable Just My Code" / "Enable Source Link support" / "Suppress JIT optimization on module load (Managed only)"
12199정성태3/17/202048오류 유형: 610. C# - CodeDomProvider 사용 시 Unhandled Exception: System.IO.DirectoryNotFoundException: Could not find a part of the path '...\f2_6uod0.tmp'.
12198정성태3/17/202041오류 유형: 609. SQL 서버 접속 시 "Cannot open user default database. Login failed."
12197정성태3/17/2020139VS.NET IDE: 144. .NET Core 콘솔 응용 프로그램을 배포(publish) 시 docker image 자동 생성 - 두 번째 이야기
12196정성태3/17/202082오류 유형: 608. The ServicedComponent being invoked is not correctly configured (Use regsvcs to re-register).
12195정성태3/17/2020186.NET Framework: 902. C# - 프로세스의 모든 핸들을 열람 - 세 번째 이야기
12194정성태3/16/202063오류 유형: 607. PostgreSQL - Npgsql.NpgsqlException: sorry, too many clients already
12193정성태3/16/202095개발 환경 구성: 485. docker - SAP Adaptive Server Enterprise 컨테이너 실행
12192정성태3/14/2020102개발 환경 구성: 484. docker - Sybase Anywhere 16 컨테이너 실행
12191정성태3/14/2020148개발 환경 구성: 483. docker - OracleXE 컨테이너 실행
12190정성태3/14/202055오류 유형: 606. Docker Desktop 업그레이드 시 "The process cannot access the file 'C:\Program Files\Docker\Docker\resources\dockerd.exe' because it is being used by another process."
12189정성태3/13/2020100개발 환경 구성: 482. Facebook OAuth 처리 시 상태 정보 전달 방법과 "유효한 OAuth 리디렉션 URI" 설정 규칙
12188정성태3/14/202060Windows: 167. 부팅 시점에 실행되는 chkdsk 결과를 확인하는 방법
12187정성태3/12/202045오류 유형: 605. NtpClient was unable to set a manual peer to use as a time source because of duplicate error on '...'.
12186정성태3/12/202063오류 유형: 604. The SysVol Permissions for one or more GPOs on this domain controller and not in sync with the permissions for the GPOs on the Baseline domain controller.
12185정성태3/11/202062오류 유형: 603. The browser service was unable to retrieve a list of servers from the browser master...
12184정성태3/11/202069오류 유형: 602. Automatic certificate enrollment for local system failed (0x800706ba) The RPC server is unavailable.
12183정성태3/12/202072오류 유형: 601. Warning: DsGetDcName returned information for \\[...], when we were trying to reach [...].
[1]  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  ...