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Math: 47. GeoGebra 기하 (24) - 정다각형 [링크 복사], [링크+제목 복사]
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GeoGebra 기하 (24) - 정다각형

지오지브라 수학 앱을 이용해,

GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568

이번엔 정다각형을 작도해 보겠습니다. ^^

우선, 살짝 이상하지만 이각형에서 시작해 볼까요? ^^

이각형
; https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EA%B0%81%ED%98%95

정이각형의 작도는 원의 중심을 지나는 선과 원 호의 교점을 잡으면 됩니다.

regular_n_polygon_1.png

이로부터 정사각형을 만들 수 있습니다. 각 변으로부터 이등분한 위치에 점을 잡고(Perpendicular Bisector) 연결만 하면 되기 때문입니다.

regular_n_polygon_2.png

다시 이로부터 각 변을 이등분해 연결하면 정팔각형을 만들 수 있습니다.

regular_n_polygon_3.png

이런 요령으로 정2n각형들을 작도할 수 있습니다.




정2n각형에서 정삼각형은 작도가 안 됩니다. 따라서 새롭게 작도해야 하는데요, 이건 예전에 해봤습니다.

GeoGebra 기하 (9) - 임의의 선분을 한 변으로 갖는 정삼각형
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579

regular_n_polygon_4.png

역시 이것으로부터 각 변을 이등분하면 정육각형을 작도할 수 있습니다.

regular_n_polygon_5.png

따라서 정삼각형에서 시작하는 3 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




또 다른 시작점으로 정5각형을 들 수 있습니다. 이건 좀 작도가 이전 것과 비교해 약간 복잡한데요. 우선, 원의 중심을 지나는 선과 그 선의 수직선(Perpendicular Line)을 작도합니다.

regular_n_polygon_6.png

이제 선분 AE의 중점을 잡고(Midpoint or Center), 그 중점과 점 D를 반지름으로 하는 원을 작도합니다.

regular_n_polygon_7.png

그럼 위에서와 같이 점 F를 중심으로 한 원과, 원 A의 중심을 지나는 선과의 교점 G를 구할 수 있습니다. 이제 다시 점 D를 중심으로, 선분 DG를 반지름으로 한 원을 그립니다.

regular_n_polygon_8.png

그럼, 위와 같이 점 H와 점 I의 위치를 결정할 수 있게 되고 점 D로부터 선을 연결하면 일단 정5각형의 두 변을 그릴 수 있게 됩니다. 정다각형의 특성상, 하나의 변이라도 길이를 구하면 게임은 끝난 것입니다. 이제부터는 선분 DH든지, 선분 DI든지 그 길이를 반지름으로 하는 원을 반복해서 그리면서 변의 길이를 잡아나가면 정 5각형을 작도할 수 있게 됩니다.

regular_n_polygon_9.png

정5각형을 그렸으니, 이제 또다시 각 변을 이등분하면 정십각형을 그릴 수 있습니다.

regular_n_polygon_10.png

따라서 정오각형에서 시작하는 5 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




그러고 보니, 정오각형 관련해서 쓴 글이 2개 있군요. ^^

C# - 펜타그램(Pentagram) 그리기
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1310

황금비율 증명
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312

저 글에서 "2. 황금비율을 공식으로 정리"에 보면, 결국 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같은 이차방정식이 됩니다.

x2 - x - 1 = 0

그리고 이에 대한 해는,

x1 = (1 + √5) / 2, 
x2 = (1 - √5) / 2

이고, 음의 해는 작도로써 부적절하므로 정오각형의 한 변의 길이는 (1 + √5) / 2가 됩니다. 정오각형이 작도가 가능하다는 것을 바로 이 방정식으로부터도 알 수 있습니다. 왜냐하면 (1 + √5) / 2 길이는 이전에 쓴 글에서,

GeoGebra 기하 (23) - sqrt(n) 제곱근
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11603

작도 가능한 길이라고 증명했기 때문입니다. 이것을 달리 말하면, 해당 정다각형의 작도 가능 여부를 방정식으로 표현해 알 수 있다는 점입니다. 가령, 이제까지 정2각형, 정3각형, 정5각형을 기반으로 정다각형을 작도하는 방법을 알아봤는데, 이를 통해 다음과 같은 식의 정다각형들이 작도가 됩니다.

2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,256,320,384,512,640,768,...

생각보다 많지 않습니다. 대체로 저 사이에 있는 것들(예: 7,9,11,13,.. 등)은 오랜 시간 동안 작도를 하기 위해 노력해 왔으나, 이후에 방정식을 통해 그것들이 작도 불가능함이 판명됐습니다. 재미있는 것은, 이렇게 방정식을 통해 증명이 되었는데도 불구하고 여전히 노력하는 사람들이 있다는 점입니다. ^^

참고로, 의외의 정다각형들이 작도가 된다는 것을 볼 수 있는데 가령 정17각형과 같은 것들은 (가우스에 의해 발견되어) 작도가 가능하다고 합니다. 그렇다면 당연히 정17각형을 기준으로 17 * 2n각형들은 작도가 가능해지는 것입니다.

(첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일입니다.)




Basic Tools
    Move
    Point
    Segment
    Line
    Polygon
    Circle with Center through Point

Edit
    Show / Hide Label
    Show / Hide Object

Construct
    Midpoint or Center
    Perpendicular Line
    Perpendicular Bisector
    Parallel Line
    Angle Bisector

Measure
    Angle
    Angle with Given Size
    Distance or Length

Lines
    Segment
    Segment with Given Length
    Line
    Ray

Circles
    Circle with Center through Point
    Compass
    Circumcircular Arc

Polygons
    Polygon
    Regular Polygon

GeoGebra 메뉴 관련 기능
    Steps - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568
        Animation

    Settings - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602
        Show Trace




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[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 7/12/2018 ]

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