Microsoft MVP성태의 닷넷 이야기
Math: 47. GeoGebra 기하 (24) - 정다각형 [링크 복사], [링크+제목 복사]
조회: 2844
글쓴 사람
정성태 (techsharer at outlook.com)
홈페이지
첨부 파일

GeoGebra 기하 (24) - 정다각형

지오지브라 수학 앱을 이용해,

GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568

이번엔 정다각형을 작도해 보겠습니다. ^^

우선, 살짝 이상하지만 이각형에서 시작해 볼까요? ^^

이각형
; https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EA%B0%81%ED%98%95

정이각형의 작도는 원의 중심을 지나는 선과 원 호의 교점을 잡으면 됩니다.

regular_n_polygon_1.png

이로부터 정사각형을 만들 수 있습니다. 각 변으로부터 이등분한 위치에 점을 잡고(Perpendicular Bisector) 연결만 하면 되기 때문입니다.

regular_n_polygon_2.png

다시 이로부터 각 변을 이등분해 연결하면 정팔각형을 만들 수 있습니다.

regular_n_polygon_3.png

이런 요령으로 정2n각형들을 작도할 수 있습니다.




정2n각형에서 정삼각형은 작도가 안 됩니다. 따라서 새롭게 작도해야 하는데요, 이건 예전에 해봤습니다.

GeoGebra 기하 (9) - 임의의 선분을 한 변으로 갖는 정삼각형
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579

regular_n_polygon_4.png

역시 이것으로부터 각 변을 이등분하면 정육각형을 작도할 수 있습니다.

regular_n_polygon_5.png

따라서 정삼각형에서 시작하는 3 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




또 다른 시작점으로 정5각형을 들 수 있습니다. 이건 좀 작도가 이전 것과 비교해 약간 복잡한데요. 우선, 원의 중심을 지나는 선과 그 선의 수직선(Perpendicular Line)을 작도합니다.

regular_n_polygon_6.png

이제 선분 AE의 중점을 잡고(Midpoint or Center), 그 중점과 점 D를 반지름으로 하는 원을 작도합니다.

regular_n_polygon_7.png

그럼 위에서와 같이 점 F를 중심으로 한 원과, 원 A의 중심을 지나는 선과의 교점 G를 구할 수 있습니다. 이제 다시 점 D를 중심으로, 선분 DG를 반지름으로 한 원을 그립니다.

regular_n_polygon_8.png

그럼, 위와 같이 점 H와 점 I의 위치를 결정할 수 있게 되고 점 D로부터 선을 연결하면 일단 정5각형의 두 변을 그릴 수 있게 됩니다. 정다각형의 특성상, 하나의 변이라도 길이를 구하면 게임은 끝난 것입니다. 이제부터는 선분 DH든지, 선분 DI든지 그 길이를 반지름으로 하는 원을 반복해서 그리면서 변의 길이를 잡아나가면 정 5각형을 작도할 수 있게 됩니다.

regular_n_polygon_9.png

정5각형을 그렸으니, 이제 또다시 각 변을 이등분하면 정십각형을 그릴 수 있습니다.

regular_n_polygon_10.png

따라서 정오각형에서 시작하는 5 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




그러고 보니, 정오각형 관련해서 쓴 글이 2개 있군요. ^^

C# - 펜타그램(Pentagram) 그리기
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1310

황금비율 증명
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312

저 글에서 "2. 황금비율을 공식으로 정리"에 보면, 결국 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같은 이차방정식이 됩니다.

x2 - x - 1 = 0

그리고 이에 대한 해는,

x1 = (1 + √5) / 2, 
x2 = (1 - √5) / 2

이고, 음의 해는 작도로써 부적절하므로 정오각형의 한 변의 길이는 (1 + √5) / 2가 됩니다. 정오각형이 작도가 가능하다는 것을 바로 이 방정식으로부터도 알 수 있습니다. 왜냐하면 (1 + √5) / 2 길이는 이전에 쓴 글에서,

GeoGebra 기하 (23) - sqrt(n) 제곱근
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11603

작도 가능한 길이라고 증명했기 때문입니다. 이것을 달리 말하면, 해당 정다각형의 작도 가능 여부를 방정식으로 표현해 알 수 있다는 점입니다. 가령, 이제까지 정2각형, 정3각형, 정5각형을 기반으로 정다각형을 작도하는 방법을 알아봤는데, 이를 통해 다음과 같은 식의 정다각형들이 작도가 됩니다.

2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,256,320,384,512,640,768,...

생각보다 많지 않습니다. 대체로 저 사이에 있는 것들(예: 7,9,11,13,.. 등)은 오랜 시간 동안 작도를 하기 위해 노력해 왔으나, 이후에 방정식을 통해 그것들이 작도 불가능함이 판명됐습니다. 재미있는 것은, 이렇게 방정식을 통해 증명이 되었는데도 불구하고 여전히 노력하는 사람들이 있다는 점입니다. ^^

참고로, 의외의 정다각형들이 작도가 된다는 것을 볼 수 있는데 가령 정17각형과 같은 것들은 (가우스에 의해 발견되어) 작도가 가능하다고 합니다. 그렇다면 당연히 정17각형을 기준으로 17 * 2n각형들은 작도가 가능해지는 것입니다.

(첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일입니다.)




Basic Tools
    Move
    Point
    Segment
    Line
    Polygon
    Circle with Center through Point

Edit
    Show / Hide Label
    Show / Hide Object

Construct
    Midpoint or Center
    Perpendicular Line
    Perpendicular Bisector
    Parallel Line
    Angle Bisector

Measure
    Angle
    Angle with Given Size
    Distance or Length

Lines
    Segment
    Segment with Given Length
    Line
    Ray

Circles
    Circle with Center through Point
    Compass
    Circumcircular Arc

Polygons
    Polygon
    Regular Polygon

GeoGebra 메뉴 관련 기능
    Steps - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568
        Animation

    Settings - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602
        Show Trace




[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]

[연관 글]





[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 7/12/2018 ]

Creative Commons License
이 저작물은 크리에이티브 커먼즈 코리아 저작자표시-비영리-변경금지 2.0 대한민국 라이센스에 따라 이용하실 수 있습니다.
by SeongTae Jeong, mailto:techsharer@outlook.com

비밀번호

댓글 쓴 사람
 




1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  [15]  ...
NoWriterDateCnt.TitleFile(s)
12078정성태12/13/20192464Linux: 26. .NET Core 응용 프로그램을 위한 메모리 덤프 방법 [1]
12077정성태12/13/20191355Linux: 25. 자주 실행할 명령어 또는 초기 환경을 "~/.bashrc" 파일에 등록
12076정성태12/17/20191310디버깅 기술: 142. Linux - lldb 환경에서 sos 확장 명령어를 이용한 닷넷 프로세스 디버깅 - 배포 방법에 따른 차이
12075정성태12/18/20191451디버깅 기술: 141. Linux - lldb 환경에서 sos 확장 명령어를 이용한 닷넷 프로세스 디버깅
12074정성태12/11/2019990디버깅 기술: 140. windbg/Visual Studio - 값이 변경된 경우를 위한 정지점(BP) 설정(Data Breakpoint)
12073정성태12/10/20191967Linux: 24. Linux/C# - 실행 파일이 아닌 스크립트 형식의 명령어를 Process.Start로 실행하는 방법
12072정성태12/9/2019730오류 유형: 583. iisreset 수행 시 "No such interface supported" 오류
12071정성태12/9/20191303오류 유형: 582. 리눅스 디스크 공간 부족 및 safemode 부팅 방법
12070정성태12/9/20192313오류 유형: 581. resize2fs: Bad magic number in super-block while trying to open /dev/.../root
12069정성태12/19/20191254디버깅 기술: 139. windbg - x64 덤프 분석 시 메서드의 인자 또는 로컬 변수의 값을 확인하는 방법
12068정성태11/28/20192150디버깅 기술: 138. windbg와 Win32 API로 알아보는 Windows Heap 정보 분석 [2]파일 다운로드2
12067정성태11/27/20191193디버깅 기술: 137. 실제 사례를 통해 Debug Diagnostics 도구가 생성한 닷넷 웹 응용 프로그램의 성능 장애 보고서 설명 [1]파일 다운로드1
12066정성태11/27/2019977디버깅 기술: 136. windbg - C# PInvoke 호출 시 마샬링을 담당하는 함수 분석 - OracleCommand.ExecuteReader에서 OpsSql.Prepare2 PInvoke 호출 분석
12065정성태11/25/20191064디버깅 기술: 135. windbg - C# PInvoke 호출 시 마샬링을 담당하는 함수 분석파일 다운로드1
12064정성태11/25/20191648오류 유형: 580. HTTP Error 500.0/500.33 - ANCM In-Process Handler Load Failure
12063정성태11/21/20191341디버깅 기술: 134. windbg - RtlReportCriticalFailure로부터 parameters 정보 찾는 방법
12062정성태12/20/20191054디버깅 기술: 133. windbg - CoTaskMemFree/FreeCoTaskMem에서 발생한 덤프 분석 사례 - 두 번째 이야기
12061정성태9/24/20201179Windows: 167. CoTaskMemAlloc/CoTaskMemFree과 윈도우 Heap의 관계
12060정성태11/21/20191255디버깅 기술: 132. windbg/Visual Studio - HeapFree x64의 동작 분석
12059정성태11/20/20191250디버깅 기술: 131. windbg/Visual Studio - HeapFree x86의 동작 분석
12058정성태11/19/20191189디버깅 기술: 130. windbg - CoTaskMemFree/FreeCoTaskMem에서 발생한 덤프 분석 사례
12057정성태11/18/2019791오류 유형: 579. Visual Studio - Memory 창에서 유효한 주소 영역임에도 "Unable to evaluate the expression." 오류 출력
12056정성태11/18/20191554개발 환경 구성: 464. "Microsoft Visual Studio Installer Projects" 프로젝트로 EXE 서명 및 MSI 파일 서명 방법파일 다운로드1
12055정성태11/17/2019758개발 환경 구성: 463. Visual Studio의 Ctrl + Alt + M, 1 (Memory 1) 등의 단축키가 동작하지 않는 경우
12054정성태11/15/20191205.NET Framework: 869. C# - 일부러 GC Heap을 깨뜨려 GC 수행 시 비정상 종료시키는 예제
12053정성태9/24/2020917Windows: 166. 윈도우 10 - 명령행 창(cmd.exe) 속성에 (DotumChe, GulimChe, GungsuhChe 등의) 한글 폰트가 없는 경우
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  [15]  ...