Microsoft MVP성태의 닷넷 이야기
Math: 47. GeoGebra 기하 (24) - 정다각형 [링크 복사], [링크+제목 복사],
조회: 16523
글쓴 사람
정성태 (techsharer at outlook.com)
홈페이지
첨부 파일
(연관된 글이 1개 있습니다.)

GeoGebra 기하 (24) - 정다각형

지오지브라 수학 앱을 이용해,

GeoGebra 기하 - 컴퍼스와 자를 이용한 작도 프로그램
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568

이번엔 정다각형을 작도해 보겠습니다. ^^

우선, 살짝 이상하지만 이각형에서 시작해 볼까요? ^^

이각형
; https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EA%B0%81%ED%98%95

정이각형의 작도는 원의 중심을 지나는 선과 원 호의 교점을 잡으면 됩니다.

regular_n_polygon_1.png

이로부터 정사각형을 만들 수 있습니다. 각 변으로부터 이등분한 위치에 점을 잡고(Perpendicular Bisector) 연결만 하면 되기 때문입니다.

regular_n_polygon_2.png

다시 이로부터 각 변을 이등분해 연결하면 정팔각형을 만들 수 있습니다.

regular_n_polygon_3.png

이런 요령으로 정2n각형들을 작도할 수 있습니다.




정2n각형에서 정삼각형은 작도가 안 됩니다. 따라서 새롭게 작도해야 하는데요, 이건 예전에 해봤습니다.

GeoGebra 기하 (9) - 임의의 선분을 한 변으로 갖는 정삼각형
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11579

regular_n_polygon_4.png

역시 이것으로부터 각 변을 이등분하면 정육각형을 작도할 수 있습니다.

regular_n_polygon_5.png

따라서 정삼각형에서 시작하는 3 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




또 다른 시작점으로 정5각형을 들 수 있습니다. 이건 좀 작도가 이전 것과 비교해 약간 복잡한데요. 우선, 원의 중심을 지나는 선과 그 선의 수직선(Perpendicular Line)을 작도합니다.

regular_n_polygon_6.png

이제 선분 AE의 중점을 잡고(Midpoint or Center), 그 중점과 점 D를 반지름으로 하는 원을 작도합니다.

regular_n_polygon_7.png

그럼 위에서와 같이 점 F를 중심으로 한 원과, 원 A의 중심을 지나는 선과의 교점 G를 구할 수 있습니다. 이제 다시 점 D를 중심으로, 선분 DG를 반지름으로 한 원을 그립니다.

regular_n_polygon_8.png

그럼, 위와 같이 점 H와 점 I의 위치를 결정할 수 있게 되고 점 D로부터 선을 연결하면 일단 정5각형의 두 변을 그릴 수 있게 됩니다. 정다각형의 특성상, 하나의 변이라도 길이를 구하면 게임은 끝난 것입니다. 이제부터는 선분 DH든지, 선분 DI든지 그 길이를 반지름으로 하는 원을 반복해서 그리면서 변의 길이를 잡아나가면 정 5각형을 작도할 수 있게 됩니다.

regular_n_polygon_9.png

정5각형을 그렸으니, 이제 또다시 각 변을 이등분하면 정십각형을 그릴 수 있습니다.

regular_n_polygon_10.png

따라서 정오각형에서 시작하는 5 * 2n각형들을 작도할 수 있습니다.




그러고 보니, 정오각형 관련해서 쓴 글이 2개 있군요. ^^

C# - 펜타그램(Pentagram) 그리기
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1310

황금비율 증명
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/1312

저 글에서 "2. 황금비율을 공식으로 정리"에 보면, 결국 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같은 이차방정식이 됩니다.

x2 - x - 1 = 0

그리고 이에 대한 해는,

x1 = (1 + √5) / 2, 
x2 = (1 - √5) / 2

이고, 음의 해는 작도로써 부적절하므로 정오각형의 한 변의 길이는 (1 + √5) / 2가 됩니다. 정오각형이 작도가 가능하다는 것을 바로 이 방정식으로부터도 알 수 있습니다. 왜냐하면 (1 + √5) / 2 길이는 이전에 쓴 글에서,

GeoGebra 기하 (23) - sqrt(n) 제곱근
; https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11603

작도 가능한 길이라고 증명했기 때문입니다. 이것을 달리 말하면, 해당 정다각형의 작도 가능 여부를 방정식으로 표현해 알 수 있다는 점입니다. 가령, 이제까지 정2각형, 정3각형, 정5각형을 기반으로 정다각형을 작도하는 방법을 알아봤는데, 이를 통해 다음과 같은 식의 정다각형들이 작도가 됩니다.

2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,256,320,384,512,640,768,...

생각보다 많지 않습니다. 대체로 저 사이에 있는 것들(예: 7,9,11,13,.. 등)은 오랜 시간 동안 작도를 하기 위해 노력해 왔으나, 이후에 방정식을 통해 그것들이 작도 불가능함이 판명됐습니다. 재미있는 것은, 이렇게 방정식을 통해 증명이 되었는데도 불구하고 여전히 노력하는 사람들이 있다는 점입니다. ^^

참고로, 의외의 정다각형들이 작도가 된다는 것을 볼 수 있는데 가령 정17각형과 같은 것들은 (가우스에 의해 발견되어) 작도가 가능하다고 합니다. 그렇다면 당연히 정17각형을 기준으로 17 * 2n각형들은 작도가 가능해지는 것입니다.

(첨부 파일은 이 글의 작도를 담은 파일입니다.)




Basic Tools
    Move
    Point
    Segment
    Line
    Polygon
    Circle with Center through Point

Edit
    Show / Hide Label
    Show / Hide Object

Construct
    Midpoint or Center
    Perpendicular Line
    Perpendicular Bisector
    Parallel Line
    Angle Bisector

Measure
    Angle
    Angle with Given Size
    Distance or Length

Lines
    Segment
    Segment with Given Length
    Line
    Ray

Circles
    Circle with Center through Point
    Compass
    Circumcircular Arc

Polygons
    Polygon
    Regular Polygon

GeoGebra 메뉴 관련 기능
    Steps - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11568
        Animation

    Settings - https://www.sysnet.pe.kr/2/0/11602
        Show Trace




[이 글에 대해서 여러분들과 의견을 공유하고 싶습니다. 틀리거나 미흡한 부분 또는 의문 사항이 있으시면 언제든 댓글 남겨주십시오.]

[연관 글]






[최초 등록일: ]
[최종 수정일: 7/12/2018]

Creative Commons License
이 저작물은 크리에이티브 커먼즈 코리아 저작자표시-비영리-변경금지 2.0 대한민국 라이센스에 따라 이용하실 수 있습니다.
by SeongTae Jeong, mailto:techsharer at outlook.com

비밀번호

댓글 작성자
 




... 76  77  78  79  80  81  82  83  84  [85]  86  87  88  89  90  ...
NoWriterDateCnt.TitleFile(s)
11684정성태9/6/201816725개발 환경 구성: 396. pagefile.sys를 비활성화시켰는데도 working set 메모리가 줄어드는 이유파일 다운로드1
11683정성태9/5/201814297개발 환경 구성: 395. Azure Web App의 이벤트 로그를 확인하는 방법
11682정성태9/5/201813517오류 유형: 484. Fakes를 포함한 단위 테스트 프로젝트를 빌드 시 CS1729 관련 오류 발생
11681정성태9/5/201816195Windows: 149. 다른 컴퓨터의 윈도우 이벤트 로그를 구독하는 방법 [2]
11680정성태9/2/201818381Graphics: 21. shader - _Time 내장 변수를 이용한 UV 변동 효과파일 다운로드1
11679정성태8/30/201815565.NET Framework: 792. C# COM 서버에 구독한 COM 이벤트를 C++에서 받는 방법파일 다운로드1
11678정성태8/29/201814587오류 유형: 483. 닷넷 - System.InvalidProgramException [1]
11677정성태8/29/201812692오류 유형: 482. TFS - Could not find a part of the path '...\packages\Microsoft.AspNet.WebApi.5.2.5\.signature.p7s'.
11676정성태8/29/201823115.NET Framework: 791. C# - ElasticSearch를 위한 Client 라이브러리 제작파일 다운로드1
11675정성태8/29/201813734오류 유형: 481. The located assembly's manifest definition does not match the assembly reference.
11674정성태8/29/201816142Phone: 12. Xamarin - 기존 리모컨 기능을 핸드폰의 적외선 송신으로 구현파일 다운로드1
11673정성태8/28/201813211오류 유형: 480. Fritzing 실행 시 Ordinal Not Found 오류
11672정성태8/28/201814040오류 유형: 479. 윈도우 - 시스템 설정에서 도메인 참가를 위한 "Change" 버튼이 비활성화된 경우
11671정성태8/28/201819943사물인터넷: 39. 아두이노에서 적외선 송신기 기본 사용법파일 다운로드1
11670정성태8/28/201817940사물인터넷: 38. 아두이노에서 적외선 수신기 기본 사용법 [1]파일 다운로드1
11669정성태8/24/201816672개발 환경 구성: 394. 윈도우 환경에서 elasticsearch의 한글 블로그 검색 인덱스 구성
11668정성태8/24/201827376오류 유형: 478. 윈도우 업데이트(KB4458842) 이후 SQL Server 서비스 시작 오류
11667정성태8/24/201815186오류 유형: 477. "Use Unicode UTF-8 for worldwide language support" 옵션 설정 시 SQL Server 2016 설치 오류 [1]
11666정성태8/22/201815385사물인터넷: 37. 아두이노 - 코딩으로 대신하는 오실레이터 회로의 소리 출력파일 다운로드1
11665정성태8/22/201816970사물인터넷: 36. 오실레이터 회로 동작을 아두이노의 코딩으로 구현하는 방법파일 다운로드1
11664정성태8/22/201816766개발 환경 구성: 393. 윈도우 환경에서 elasticsearch의 한글 형태소 분석기 설치 [1]
11663정성태8/22/201819169개발 환경 구성: 392. 윈도우 환경에서 curl.exe를 이용한 elasticsearch 6.x 기본 사용법
11662정성태8/21/201813996사물인터넷: 35. 병렬 회로에서의 커패시터파일 다운로드1
11661정성태8/21/201815877사물인터넷: 34. 트랜지스터 동작 - 컬렉터-이미터 간의 저항 측정파일 다운로드1
11660정성태8/19/201814768사물인터넷: 33. 세라믹 커패시터의 동작 방식파일 다운로드1
11659정성태8/19/201814339사물인터넷: 32. 9V 전압에서 테스트하는 PN2222A 트랜지스터파일 다운로드1
... 76  77  78  79  80  81  82  83  84  [85]  86  87  88  89  90  ...